(1) 数列 $4, 5, 8, 13, 20, 29, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。 (2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 1$ である数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 数列 $4, 5, 8, 13, 20, 29, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

(2) 初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 1$ である数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 階差数列を考える。

元の数列を $\{a_n\}$ とすると、$a_1 = 4, a_2 = 5, a_3 = 8, a_4 = 13, a_5 = 20, a_6 = 29, \dots$ である。

階差数列 $\{b_n\}$ は $b_n = a_{n+1} - a_n$ で与えられ、

$b_1 = a_2 - a_1 = 5 - 4 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 8 - 5 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 13 - 8 = 5$

$b_4 = a_5 - a_4 = 20 - 13 = 7$

$b_5 = a_6 - a_5 = 29 - 20 = 9$

よって、階差数列は $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ となり、これは初項1、公差2の等差数列である。

したがって、$b_n = 1 + (n-1)2 = 2n - 1$ となる。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$

$a_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 4 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 4 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 4 + n(n-1) - (n-1) = 4 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 5$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 2(1) + 5 = 1 - 2 + 5 = 4$ となり、これは初項の値と一致する。

よって、$a_n = n^2 - 2n + 5$

(2) $S_n = n^2 + 1$ が与えられている。

$a_1 = S_1 = 1^2 + 1 = 2$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 1) - ((n-1)^2 + 1) = n^2 + 1 - (n^2 - 2n + 1 + 1) = n^2 + 1 - n^2 + 2n - 2 = 2n - 1$

したがって、$a_1 = 2$, $n \ge 2$ のとき $a_n = 2n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 - 2n + 5$

(2) $a_1 = 2$, $n \ge 2$ のとき $a_n = 2n - 1$