3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 12 = 0$ の3つの解が $-1, 3, c$ であるとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 12 = 0$ の3つの解が $-1, 3, c$ であるとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用する。

3次方程式 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、以下の関係が成り立つ。

\begin{align*}

\alpha + \beta + \gamma &= -p \\

\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha &= q \\

\alpha\beta\gamma &= -r

\end{align*}

この問題では、3つの解が $-1, 3, c$ であり、方程式が $x^3 + ax^2 + bx - 12 = 0$ であるから、

\begin{align*}

-1 + 3 + c &= -a \\

(-1)(3) + (3)(c) + (c)(-1) &= b \\

(-1)(3)(c) &= -(-12)

\end{align*}

これらの式を整理すると、

\begin{align*}

2 + c &= -a \\

-3 + 3c - c &= b \\

-3c &= -12

\end{align*}

最後の式より、$c = 4$ である。

これを最初の2つの式に代入すると、

\begin{align*}

2 + 4 &= -a \\

-3 + 3(4) - 4 &= b

\end{align*}

整理すると、

\begin{align*}

6 &= -a \\

-3 + 12 - 4 &= b

\end{align*}

したがって、$a = -6$、$b = 5$ である。

3. 最終的な答え

$a = -6, b = 5, c = 4$