与えられた4つの数式から、$x, y, z$の値を求めます。 (1) $(x+y-z)(x-y+z)=17$ (2) $(x-y+z)^2=18$ (3) $(x-y)^3=19$ (4) $(x-y)(x^2+xy+y^2)=20$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式から、$x, y, z$の値を求めます。

(1) $(x+y-z)(x-y+z)=17$

(2) $(x-y+z)^2=18$

(3) $(x-y)^3=19$

(4) $(x-y)(x^2+xy+y^2)=20$

2. 解き方の手順

(1)と(2)の式から、$x+y-z$の値を求めます。

(2)より、$x-y+z = \pm \sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2}$。

(1)より、 $(x+y-z)(x-y+z)=17$なので、

$x+y-z = \frac{17}{x-y+z} = \frac{17}{\pm 3\sqrt{2}} = \pm \frac{17\sqrt{2}}{6}$。

(3)より、$(x-y)^3=19$なので、$x-y = \sqrt[3]{19}$。

(4)より、$(x-y)(x^2+xy+y^2)=20$なので、

$x^2+xy+y^2 = \frac{20}{x-y} = \frac{20}{\sqrt[3]{19}}$。

ここで、$x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$を利用すると、

$x^3-y^3 = 20$。

また、$x-y = \sqrt[3]{19}$なので、

$x=y+\sqrt[3]{19}$。

これを$x^3-y^3=20$に代入すると、

$(y+\sqrt[3]{19})^3 - y^3 = 20$

$y^3 + 3y^2\sqrt[3]{19} + 3y(\sqrt[3]{19})^2 + 19 - y^3 = 20$

$3y^2\sqrt[3]{19} + 3y(\sqrt[3]{19})^2 = 1$

$3\sqrt[3]{19}y^2 + 3\sqrt[3]{361}y - 1 = 0$

この二次方程式を解くと、$y$の値が求まりますが、複雑な形になります。

(2)より、 $(x-y+z)^2=18$

$x-y+z = \pm 3\sqrt{2}$

$z = \pm 3\sqrt{2} - (x-y) = \pm 3\sqrt{2} - \sqrt[3]{19}$

問題文に誤りがないか確認させて下さい。

もし$x,y,z$が整数解を持つのであれば、違う解き方をする必要があります。

3. 最終的な答え

$x=y+\sqrt[3]{19}$

$3\sqrt[3]{19}y^2 + 3\sqrt[3]{361}y - 1 = 0$

$z = \pm 3\sqrt{2} - \sqrt[3]{19}$