10本のくじの中に当たりくじが2本ある。このくじから同時に5本引いたとき、当たりくじの本数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および $X$ の分散 $V(X)$ を求める問題です。$E(X^2) = \frac{a}{9}$、 $V(X) = \frac{b}{9}$ と表される時の $a$ と $b$ の値を答えます。

1. 問題の内容

10本のくじの中に当たりくじが2本ある。このくじから同時に5本引いたとき、当たりくじの本数を $X$ とする。$X$ の期待値 $E(X)$、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$、および $X$ の分散 $V(X)$ を求める問題です。$E(X^2) = \frac{a}{9}$、 $V(X) = \frac{b}{9}$ と表される時の $a$ と $b$ の値を答えます。

2. 解き方の手順

$X$ は超幾何分布に従うので、期待値と分散は以下の公式で求められます。

$N$: 母集団のサイズ (10)

$K$: 母集団に含まれる当たりくじの数 (2)

$n$: 抽出するサンプルサイズ (5)

$E(X) = n \frac{K}{N}$

$V(X) = n \frac{K}{N} (1 - \frac{K}{N}) \frac{N-n}{N-1}$

まず、$X$ の期待値 $E(X)$ を計算します。

$E(X) = 5 \cdot \frac{2}{10} = 5 \cdot \frac{1}{5} = 1$

次に、$X^2$ の期待値 $E(X^2)$ を計算するために、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ を利用します。

まず、$V(X)$ を計算します。

$V(X) = 5 \cdot \frac{2}{10} (1 - \frac{2}{10}) \frac{10-5}{10-1} = 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{5}{9} = 1 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ より、

$E(X^2) = V(X) + (E(X))^2 = \frac{4}{9} + 1^2 = \frac{4}{9} + 1 = \frac{4}{9} + \frac{9}{9} = \frac{13}{9}$

よって、$E(X^2) = \frac{13}{9}$ なので、$a = 13$

$V(X) = \frac{b}{9}$ より、 $V(X) = \frac{4}{9}$ なので、$b = 4$

3. 最終的な答え

$X$ の期待値 $E(X) = 1$

$X^2$ の期待値 $E(X^2) = \frac{13}{9}$, $a = 13$

$X$ の分散 $V(X) = \frac{4}{9}$, $b = 4$