袋の中に赤玉2個、白玉2個、青玉1個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出したとき、赤玉の個数をX、白玉の個数をYとする。 以下の確率を求めよ。 $P(X=0, Y=0)$, $P(X=0, Y=1)$, $P(X=0, Y=2)$, $P(X=1, Y=0)$, $P(X=1, Y=1)$, $P(X=1, Y=2)$, $P(X=2, Y=0)$, $P(X=2, Y=1)$, $P(X=2, Y=2)$, $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(Y=0)$, $P(Y=1)$

1. 問題の内容

袋の中に赤玉2個、白玉2個、青玉1個が入っている。この袋から2個の玉を同時に取り出したとき、赤玉の個数をX、白玉の個数をYとする。

以下の確率を求めよ。

$P(X=0, Y=0)$, $P(X=0, Y=1)$, $P(X=0, Y=2)$, $P(X=1, Y=0)$, $P(X=1, Y=1)$, $P(X=1, Y=2)$, $P(X=2, Y=0)$, $P(X=2, Y=1)$, $P(X=2, Y=2)$, $P(X=0)$, $P(X=1)$, $P(X=2)$, $P(Y=0)$, $P(Y=1)$

2. 解き方の手順

まず、全部で5個の玉から2個を取り出す組み合わせの総数を求める。

これは $_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りである。

次に、それぞれの確率を計算する。

$P(X=0, Y=0)$: 赤玉も白玉も選ばないということは、青玉2個を選ばなければならないが、青玉は1個しかないため、ありえない。

$P(X=0, Y=0) = 0$

$P(X=0, Y=1)$: 赤玉を選ばず、白玉を1個選ぶ。残りの1個は青玉を選ぶ必要がある。

$P(X=0, Y=1) = \frac{_{2}C_{1} \times _{1}C_{1}}{_{5}C_{2}} = \frac{2 \times 1}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$

$P(X=0, Y=2)$: 赤玉を選ばず、白玉を2個選ぶ。

$P(X=0, Y=2) = \frac{_{2}C_{2}}{_{5}C_{2}} = \frac{1}{10} = 0.1$

$P(X=1, Y=0)$: 赤玉を1個選び、白玉を選ばない。残りの1個は青玉を選ぶ必要がある。

$P(X=1, Y=0) = \frac{_{2}C_{1} \times _{1}C_{1}}{_{5}C_{2}} = \frac{2 \times 1}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$

$P(X=1, Y=1)$: 赤玉を1個、白玉を1個選ぶ。

$P(X=1, Y=1) = \frac{_{2}C_{1} \times _{2}C_{1}}{_{5}C_{2}} = \frac{2 \times 2}{10} = \frac{4}{10} = 0.4$

$P(X=1, Y=2)$: 赤玉を1個選び、白玉を2個選ぶが、これはありえない。

$P(X=1, Y=2) = 0$

$P(X=2, Y=0)$: 赤玉を2個選び、白玉を選ばない。

$P(X=2, Y=0) = \frac{_{2}C_{2}}{_{5}C_{2}} = \frac{1}{10} = 0.1$

$P(X=2, Y=1)$: 赤玉を2個選び、白玉を1個選ぶが、これはありえない。

$P(X=2, Y=1) = 0$

$P(X=2, Y=2)$: 赤玉を2個選び、白玉を2個選ぶが、これはありえない。

$P(X=2, Y=2) = 0$

$P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2) = 0 + 0.2 + 0.1 = 0.3$

$P(X=1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=1, Y=2) = 0.2 + 0.4 + 0 = 0.6$

$P(X=2) = P(X=2, Y=0) + P(X=2, Y=1) + P(X=2, Y=2) = 0.1 + 0 + 0 = 0.1$

$P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0) = 0 + 0.2 + 0.1 = 0.3$

$P(Y=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=1) = 0.2 + 0.4 + 0 = 0.6$

3. 最終的な答え

P(X = 0, Y = 0) = 0

P(X = 0, Y = 1) = 0.2

P(X = 0, Y = 2) = 0.1

P(X = 1, Y = 0) = 0.2

P(X= 1, Y = 1) = 0.4

P(X = 1, Y = 2) = 0

P(X=2, Y = 0) = 0.1

P(X=2, Y=1) = 0

P(X = 2, Y = 2) = 0

P(X = 0) = 0.3

P(X= 1) = 0.6

P(X = 2) = 0.1

P(Y = 0) = 0.3

P(Y = 1) = 0.6