確率変数 $X$ の分散が 5、確率変数 $Y$ の分散が 2 であり、$X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$Z = 2X - 3Y$ で定義される確率変数 $Z$ の分散 $Var(Z)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の分散が 5、確率変数 $Y$ の分散が 2 であり、$X$ と $Y$ が互いに独立であるとき、$Z = 2X - 3Y$ で定義される確率変数 $Z$ の分散 $Var(Z)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$X$ と $Y$ が独立であるとき、分散の性質として、

$Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y)$

が成り立つ。

この問題では、$Z = 2X - 3Y$ なので、$a = 2$、$b = -3$ となる。

$Var(X) = 5$、$Var(Y) = 2$ を代入すると、

$Var(Z) = Var(2X - 3Y) = 2^2 Var(X) + (-3)^2 Var(Y) = 4 Var(X) + 9 Var(Y) = 4 \cdot 5 + 9 \cdot 2 = 20 + 18 = 38$

3. 最終的な答え

38