多項式 $P(x) = x^3 + ax + 2$ が $x-2$ で割り切れるとき、余りが4となるように定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax + 2$ が $x-2$ で割り切れるとき、余りが4となるように定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理より、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りは $P(2)$ に等しくなります。したがって、$P(2) = 4$ という条件から $a$ の値を求めます。

まず、$P(2)$ を計算します。

$P(2) = 2^3 + a(2) + 2 = 8 + 2a + 2 = 10 + 2a$

条件より、$P(2) = 4$ であるから、

$10 + 2a = 4$

$2a = 4 - 10$

$2a = -6$

$a = -3$

3. 最終的な答え

$a = -3$