与えられた数学の問題は、主に以下の３つのカテゴリに分かれています。 * 式の展開：指定された式を展開する。 * 因数分解：指定された式を因数分解する。 * 多項式の問題：最大公約数、最小公倍数、割り算の余りに関する問題を解く。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、指示に従って回答を作成します。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、主に以下の３つのカテゴリに分かれています。

* 式の展開：指定された式を展開する。

* 因数分解：指定された式を因数分解する。

* 多項式の問題：最大公約数、最小公倍数、割り算の余りに関する問題を解く。

2. 解き方の手順

ここでは、問題4, 6, 7 の解き方を説明します。

問題4: 整式 $A = x^2 + 4x - 5$ と整式 $B$ の最大公約数が $x - 1$, 最小公倍数が $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ であるとき、$B$ を求める。

* まず、$A$ を因数分解します。

$A = x^2 + 4x - 5 = (x - 1)(x + 5)$

* $A$ と $B$ の積は、最大公約数と最小公倍数の積に等しいことを利用します。

$AB = (x - 1)(x^3 + 2x^2 - 13x + 10)$

したがって、$B = \frac{(x - 1)(x^3 + 2x^2 - 13x + 10)}{A} = \frac{(x - 1)(x^3 + 2x^2 - 13x + 10)}{(x - 1)(x + 5)}$

* $x^3 + 2x^2 - 13x + 10$ を $x+5$で割ります。

$x^3 + 2x^2 - 13x + 10 = (x + 5)(x^2 - 3x + 2)$

したがって、$B = \frac{(x - 1)(x+5)(x^2 - 3x + 2)}{(x - 1)(x + 5)} = x^2 - 3x + 2$

* $B$ を因数分解します。

$B = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

問題6: $x^4 + 1$ を整式 $P(x)$ で割ったら、商が $x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ で、余りが17であった。$P(x)$ を求めよ。

* 割り算の原理より、$x^4 + 1 = P(x)(x^3 - 2x^2 + 4x - 8) + 17$ となります。

* $P(x)$ について解くと、$P(x) = \frac{x^4 + 1 - 17}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8} = \frac{x^4 - 16}{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}$ となります。

* 分子と分母を因数分解します。

$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)$

$x^3 - 2x^2 + 4x - 8 = x^2(x - 2) + 4(x - 2) = (x - 2)(x^2 + 4)$

* $P(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x - 2)(x^2 + 4)} = x + 2$

問題7: 整式 $Q(x)$ を $x + 1$ で割ると余りが -3 であり、$x - 2$ で割ると余りが 3 であった。$Q(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りを求めよ。

* 余りの定理より、$Q(-1) = -3$ かつ $Q(2) = 3$ が成り立ちます。

* $Q(x)$ を $x^2 - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおくと、$Q(x) = (x^2 - x - 2)S(x) + ax + b$ （$S(x)$ は商）と表せます。

* $Q(-1) = -a + b = -3$

$Q(2) = 2a + b = 3$

* この連立方程式を解くと、

$3a = 6$ より $a = 2$

$-2 + b = -3$ より $b = -1$

* したがって、余りは $2x - 1$

3. 最終的な答え

* 問題4: $B = (x - 1)(x - 2)$

* 問題6: $P(x) = x + 2$

* 問題7: 余り $2x - 1$