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与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3)$ を展開し、整理すること。

代数学多項式の展開因数分解置換
2025/5/15

1. 問題の内容

与えられた式 x(x+1)(x+2)(x+3)x(x+1)(x+2)(x+3) を展開し、整理すること。

2. 解き方の手順

まず、x(x+3)x(x+3) と (x+1)(x+2)(x+1)(x+2) をそれぞれ展開します。
x(x+3)=x2+3xx(x+3) = x^2 + 3x
(x+1)(x+2)=x2+2x+x+2=x2+3x+2(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2
すると、式は (x2+3x)(x2+3x+2)(x^2+3x)(x^2+3x+2) となります。ここで、y=x2+3xy = x^2 + 3x と置換すると、式は y(y+2)=y2+2yy(y+2) = y^2 + 2y となります。
次に、yy を x2+3xx^2+3x に戻すと、
(x2+3x)2+2(x2+3x)=(x4+6x3+9x2)+(2x2+6x)=x4+6x3+11x2+6x(x^2+3x)^2 + 2(x^2+3x) = (x^4 + 6x^3 + 9x^2) + (2x^2 + 6x) = x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x となります。

3. 最終的な答え

x4+6x3+11x2+6xx^4 + 6x^3 + 11x^2 + 6x

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