関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(5) = 4$ かつ $f^{-1}(-5) = -1$ を満たす定数 $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(5) = 4$ かつ $f^{-1}(-5) = -1$ を満たす定数 $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆関数の定義より、$f^{-1}(5) = 4$ は $f(4) = 5$ と同値であり、$f^{-1}(-5) = -1$ は $f(-1) = -5$ と同値です。

したがって、

$f(4) = 4a + b = 5$

$f(-1) = -a + b = -5$

という2つの式が得られます。

この連立方程式を解きます。

2番目の式を $b$ について解くと、

$b = a - 5$

これを1番目の式に代入すると、

$4a + (a - 5) = 5$

$5a - 5 = 5$

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を $b = a - 5$ に代入すると、

$b = 2 - 5 = -3$

よって、$a = 2$、$b = -3$ です。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$