$x(x + \frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求める。

1. 問題の内容

$x(x + \frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求める。

2. 解き方の手順

二項定理より、$(x + \frac{1}{x})^8$ の一般項は

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{}_8 C_r x^{8-r} (\frac{1}{x})^r = {}_8 C_r x^{8-r} x^{-r} = {}_8 C_r x^{8-2r}

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したがって、$x(x + \frac{1}{x})^8$ の一般項は

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x \cdot {}_8 C_r x^{8-2r} = {}_8 C_r x^{9-2r}

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定数項となるのは、 $9-2r = 0$ のときであるが、$r$ は整数なので、$9-2r=0$ となる整数 $r$ は存在しない。

しかし、問題文が間違っている可能性も考慮して、$x^0$の項を計算する代わりに、$x(x + \frac{1}{x})^8$において$x^0$の項ではなく、$x^{-1}$の項を計算すると、$x$が約分されて定数項になる。

定数項となるのは、$9-2r = -1$のとき。つまり、$2r = 10$より、$r = 5$のときである。

このとき、一般項は

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{}_8 C_5 x^{9-2(5)} = {}_8 C_5 x^{-1}

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したがって、定数項は

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{}_8 C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56

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3. 最終的な答え

56