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与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4$ を因数分解せよ。

代数学因数分解二次式多項式
2025/5/15

1. 問題の内容

与えられた式 (x−1)(x−2)(x+3)(x+4)+4(x-1)(x-2)(x+3)(x+4)+4 を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式の積の順序を工夫して、共通の形を作りやすくする。
(x−1)(x+3)(x-1)(x+3) と (x−2)(x+4)(x-2)(x+4) を計算する。
(x−1)(x+3)=x2+3x−x−3=x2+2x−3(x-1)(x+3) = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3
(x−2)(x+4)=x2+4x−2x−8=x2+2x−8(x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8
ここで、x2+2x=Ax^2+2x = A とおくと、与式は
(A−3)(A−8)+4(A-3)(A-8) + 4
=A2−8A−3A+24+4= A^2 - 8A - 3A + 24 + 4
=A2−11A+28= A^2 - 11A + 28
=(A−4)(A−7)= (A-4)(A-7)
AA を元に戻すと、
(x2+2x−4)(x2+2x−7)(x^2+2x-4)(x^2+2x-7)

3. 最終的な答え

(x2+2x−4)(x2+2x−7)(x^2+2x-4)(x^2+2x-7)

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