2つのベクトル $\vec{a} = (3, -4)$ と $\vec{b} = (-2x + 3, 3x - 7)$ が平行になるように、$x$ の値を求める問題です。

## 問題 1

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (3, -4)$ と $\vec{b} = (-2x + 3, 3x - 7)$ が平行になるように、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つのベクトルが平行であるということは、一方のベクトルがもう一方のベクトルのスカラー倍で表せるということです。つまり、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{b} = k\vec{a}$

が成り立つ必要があります。

この式を成分で表すと、

$(-2x + 3, 3x - 7) = k(3, -4)$

となります。

この式は、次の2つの式に分解できます。

$-2x + 3 = 3k$

$3x - 7 = -4k$

これらの連立方程式を解きます。

まず、最初の式から $k$ を求めると、

$k = \frac{-2x + 3}{3}$

となります。

これを2番目の式に代入すると、

$3x - 7 = -4\left(\frac{-2x + 3}{3}\right)$

$3(3x - 7) = -4(-2x + 3)$

$9x - 21 = 8x - 12$

$x = 9$

3. 最終的な答え

$x = 9$

## 問題 2

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (-1, 2)$ と $\vec{b} = (x, 1)$ があります。$2\vec{a} - 3\vec{b}$ と $\vec{a} + 2\vec{b}$ が平行となるように、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$2\vec{a} - 3\vec{b}$ と $\vec{a} + 2\vec{b}$ を計算します。

$2\vec{a} - 3\vec{b} = 2(-1, 2) - 3(x, 1) = (-2, 4) - (3x, 3) = (-2 - 3x, 1)$

$\vec{a} + 2\vec{b} = (-1, 2) + 2(x, 1) = (-1, 2) + (2x, 2) = (-1 + 2x, 4)$

2つのベクトルが平行である条件は、一方のベクトルがもう一方のベクトルのスカラー倍で表せることです。つまり、ある実数 $k$ が存在して、

$2\vec{a} - 3\vec{b} = k(\vec{a} + 2\vec{b})$

が成り立ちます。

この式を成分で表すと、

$(-2 - 3x, 1) = k(-1 + 2x, 4)$

となります。

この式は、次の2つの式に分解できます。

$-2 - 3x = k(-1 + 2x)$

$1 = 4k$

2番目の式から、$k = \frac{1}{4}$ となります。これを1番目の式に代入すると、

$-2 - 3x = \frac{1}{4}(-1 + 2x)$

$4(-2 - 3x) = -1 + 2x$

$-8 - 12x = -1 + 2x$

$-7 = 14x$

$x = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{1}{2}$

## 問題 3

1. 問題の内容

3つのベクトル $\vec{a} = (2, -4)$, $\vec{b} = (-2, 0)$, $\vec{c} = (1, 1)$ があります。$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が平行になるような実数 $t$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算します。

$\vec{a} + t\vec{b} = (2, -4) + t(-2, 0) = (2 - 2t, -4)$

2つのベクトルが平行である条件は、一方のベクトルがもう一方のベクトルのスカラー倍で表せることです。つまり、ある実数 $k$ が存在して、

$\vec{a} + t\vec{b} = k\vec{c}$

が成り立ちます。

この式を成分で表すと、

$(2 - 2t, -4) = k(1, 1)$

となります。

この式は、次の2つの式に分解できます。

$2 - 2t = k$

$-4 = k$

2番目の式から、$k = -4$ となります。これを1番目の式に代入すると、

$2 - 2t = -4$

$-2t = -6$

$t = 3$

3. 最終的な答え

$t = 3$

## 問題 4

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (-6, 3)$ に平行で、大きさが3のベクトル $\vec{b}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ に平行な単位ベクトルをまず求めます。

$\vec{a}$ の大きさは $|\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ です。

$\vec{a}$ に平行な単位ベクトル $\vec{e}$ は、

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{(-6, 3)}{3\sqrt{5}} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$

となります。

大きさが3のベクトル $\vec{b}$ は、単位ベクトル $\vec{e}$ を3倍すればよいので、

$\vec{b} = 3\vec{e} = 3\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \left(-\frac{6}{\sqrt{5}}, \frac{3}{\sqrt{5}}\right)$

$\vec{b} = \left(-\frac{6\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$

$\vec{a}$ と反対方向で大きさが 3 のベクトルも条件を満たすため、それも求めます。

$-\vec{b} = -3\vec{e} = -3\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \left(\frac{6}{\sqrt{5}}, -\frac{3}{\sqrt{5}}\right)$

$-\vec{b} = \left(\frac{6\sqrt{5}}{5}, -\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$

3. 最終的な答え

$\vec{b} = \left(-\frac{6\sqrt{5}}{5}, \frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$ または $\vec{b} = \left(\frac{6\sqrt{5}}{5}, -\frac{3\sqrt{5}}{5}\right)$