$(3x+y)^3 - (3x-y)^3$を展開せよ。

## 問題1

1. 問題の内容

$(3x+y)^3 - (3x-y)^3$を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$と$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$の公式を利用して、それぞれの式を展開する。

$$(3x+y)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 + y^3 = 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3$$

$$(3x-y)^3 = (3x)^3 - 3(3x)^2y + 3(3x)y^2 - y^3 = 27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3$$

次に、これらの展開された式を元の式に代入して計算する。

$(3x+y)^3 - (3x-y)^3 = (27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3) - (27x^3 - 27x^2y + 9xy^2 - y^3)$

$= 27x^3 + 27x^2y + 9xy^2 + y^3 - 27x^3 + 27x^2y - 9xy^2 + y^3$

$= 54x^2y + 2y^3$

$= 2y(27x^2 + y^2)$

3. 最終的な答え

$54x^2y + 2y^3 = 2y(27x^2 + y^2)$

## 問題2

1. 問題の内容

$(x-2y)^3(x+2y)^3$を展開せよ。

2. 解き方の手順

$(x-2y)^3(x+2y)^3 = ((x-2y)(x+2y))^3$と変形できる。

$(x-2y)(x+2y)$は和と差の積なので、$x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$となる。

よって、$(x^2 - 4y^2)^3$を展開する。

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$の公式を用いる。

$(x^2 - 4y^2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(4y^2) + 3(x^2)(4y^2)^2 - (4y^2)^3$

$= x^6 - 12x^4y^2 + 48x^2y^4 - 64y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - 12x^4y^2 + 48x^2y^4 - 64y^6$

## 問題3

1. 問題の内容

$(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y)(x-y)$を計算する。

$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$

次に、$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$を展開する。

$(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2) = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$

これは$(A+B)(A-B)$の形なので、$A^2 - B^2$となる。

ここで、$A = x^2 + y^2$、$B = xy$である。

$(x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$

したがって、与式は

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4)$となる。

これを展開する。

$(x^2 - y^2)(x^4 + x^2y^2 + y^4) = x^6 + x^4y^2 + x^2y^4 - x^4y^2 - x^2y^4 - y^6 = x^6 - y^6$

3. 最終的な答え

$x^6 - y^6$