$(x + \frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求めよ。

1. 問題の内容

$(x + \frac{1}{x})^8$ を展開して $x$ について整理したときの定数項を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を使って展開します。

$(a+b)^n$ の展開における一般項は $_nC_r a^{n-r} b^r$ で与えられます。

この問題の場合、$a = x$, $b = \frac{1}{x}$, $n = 8$ です。

したがって、$(x + \frac{1}{x})^8$ の展開における一般項は

$_8C_r x^{8-r} (\frac{1}{x})^r = _8C_r x^{8-r} x^{-r} = _8C_r x^{8-2r}$

定数項とは、$x$ の指数が $0$ である項を指します。

したがって、$8 - 2r = 0$ となる $r$ を求めます。

$8 - 2r = 0$ より、$2r = 8$ なので、$r = 4$ です。

$r = 4$ のとき、一般項は $_8C_4 x^{8-2(4)} = _8C_4 x^0 = _8C_4$ となります。

したがって、定数項は $_8C_4$ です。

$_8C_4$ を計算します。

$_8C_4 = \frac{8!}{4! (8-4)!} = \frac{8!}{4! 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{1680}{24} = 70$

3. 最終的な答え

70