$105^\circ = 150^\circ - 45^\circ$ を用いて、$\sin 105^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求める。

1. 問題の内容

$105^\circ = 150^\circ - 45^\circ$ を用いて、$\sin 105^\circ$ と $\cos 105^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

三角関数の加法定理を用いる。

$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

$A = 150^\circ$, $B = 45^\circ$ とすると、

$\sin 105^\circ = \sin (150^\circ - 45^\circ) = \sin 150^\circ \cos 45^\circ - \cos 150^\circ \sin 45^\circ$

$\cos 105^\circ = \cos (150^\circ - 45^\circ) = \cos 150^\circ \cos 45^\circ + \sin 150^\circ \sin 45^\circ$

ここで、$\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$\sin 105^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\cos 105^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 105^\circ = -\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

$\cos 105^\circ = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$