空間ベクトル $\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$, $\overrightarrow{OB}=(a,b,0)$, $\overrightarrow{OC}$ が、以下の条件を満たすとする。ただし、$a, b$ は正の数とする。 $|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}$, $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{5}{6}$ (1) $a, b$ の値を求めよ。 (2) 三角形 OAB の面積 $S$ を求めよ。 (3) 四面体 OABC の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

空間ベクトル $\overrightarrow{OA}=(1,0,0)$, $\overrightarrow{OB}=(a,b,0)$, $\overrightarrow{OC}$ が、以下の条件を満たすとする。ただし、$a, b$ は正の数とする。

$|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2}$, $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \frac{5}{6}$

(1) $a, b$ の値を求めよ。

(2) 三角形 OAB の面積 $S$ を求めよ。

(3) 四面体 OABC の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ の値を求める。

$|\overrightarrow{OB}|=1$ より、

$a^2 + b^2 = 1$

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}$ より、

$1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot 0 = \frac{1}{3}$

$a = \frac{1}{3}$

$a^2 + b^2 = 1$ に $a = \frac{1}{3}$ を代入して、

$(\frac{1}{3})^2 + b^2 = 1$

$b^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$b = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (∵ $b$ は正の数)

よって、$a = \frac{1}{3}, b = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) 三角形 OAB の面積 $S$ を求める。

$\overrightarrow{OA} = (1,0,0)$, $\overrightarrow{OB} = (\frac{1}{3}, \frac{2\sqrt{2}}{3}, 0)$

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$

$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (0,0,\frac{2\sqrt{2}}{3})$

$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

(3) 四面体 OABC の体積 $V$ を求める。

$\overrightarrow{OC}=(x,y,z)$とおく。

$|\overrightarrow{OC}|=1$より、$x^2+y^2+z^2=1$

$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}$より、$x=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\frac{5}{6}$より、$\frac{1}{3}x+\frac{2\sqrt{2}}{3}y=\frac{5}{6}$

$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}y=\frac{5}{6}$

$\frac{2\sqrt{2}}{3}y=\frac{5}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$y=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$z^2=1-x^2-y^2=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$z=\pm\frac{1}{2}$

$V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}) \cdot \overrightarrow{OC}|$

$V = \frac{1}{6} |(0,0, \frac{2\sqrt{2}}{3}) \cdot (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\frac{1}{2})|$

$V = \frac{1}{6} |\frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (\pm\frac{1}{2})| = \frac{1}{6} |\pm \frac{\sqrt{2}}{3}| = \frac{\sqrt{2}}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{3}, b = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

(2) $S = \frac{\sqrt{2}}{3}$

(3) $V = \frac{\sqrt{2}}{18}$