双曲線 $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{45} = 1$ の焦点 $(9, 0)$ を $F$ とする。この双曲線上の点 $P$ から直線 $x=4$ に下ろした垂線を $PH$ としたときの $\frac{PF}{PH}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{45} = 1$ の焦点 $(9, 0)$ を $F$ とする。この双曲線上の点 $P$ から直線 $x=4$ に下ろした垂線を $PH$ としたときの $\frac{PF}{PH}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

双曲線の式から、$a^2 = 36$ より $a = 6$、$b^2 = 45$ より $b = 3\sqrt{5}$ である。

焦点の座標が $(9, 0)$ であることから、$c = 9$ である。

双曲線の離心率 $e$ は $e = \frac{c}{a}$ で表されるので、$e = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ である。

双曲線上の点 $P(x, y)$ から焦点 $F(9, 0)$ までの距離 $PF$ は、$PF = |ex - a|$ で表される。

点 $P(x, y)$ から直線 $x=4$ までの距離 $PH$ は、$PH = |x - 4|$ で表される。

よって、$\frac{PF}{PH} = \frac{|ex - a|}{|x - 4|} = \frac{|\frac{3}{2}x - 6|}{|x - 4|} = \frac{|\frac{3}{2}(x - 4)|}{|x - 4|} = \frac{3}{2}$ となる。

双曲線 $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{45} = 1$ は $x \ge 6$ か $x \le -6$ なので、$x - 4$ は正にも負にもなり得るので、絶対値記号は外せない。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$