$\text{OA} = 6$, $\text{OB} = 4$, $\angle \text{AOB} = 60^\circ$ である $\triangle \text{OAB}$ において、頂点 A から辺 OB に下ろした垂線を AC, 頂点 B から辺 OA に下ろした垂線を BD とする。線分 AC と線分 BD の交点を H とするとき、ベクトル $\overrightarrow{\text{OH}}$ をベクトル $\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\overrightarrow{\text{OB}}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\text{OA} = 6$, $\text{OB} = 4$, $\angle \text{AOB} = 60^\circ$ である $\triangle \text{OAB}$ において、頂点 A から辺 OB に下ろした垂線を AC, 頂点 B から辺 OA に下ろした垂線を BD とする。線分 AC と線分 BD の交点を H とするとき、ベクトル $\overrightarrow{\text{OH}}$ をベクトル $\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\overrightarrow{\text{OB}}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{\text{OH}} = s\overrightarrow{\text{OA}} + t\overrightarrow{\text{OB}}$ とおく。ただし、$s, t$ は実数である。

点 H は直線 BD 上にあるので、$\overrightarrow{\text{OH}} = s\overrightarrow{\text{OA}} + t\overrightarrow{\text{OB}}$ は

$s\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{\text{OD}}$

$\overrightarrow{\text{DH}} = k\overrightarrow{\text{DB}}$

と書ける。ただし、$k$は実数である。よって

$\overrightarrow{\text{OH}} = \overrightarrow{\text{OD}} + \overrightarrow{\text{DH}} = s\overrightarrow{\text{OA}} + k(\overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OD}}) = s\overrightarrow{\text{OA}} + k(\overrightarrow{\text{OB}} - s\overrightarrow{\text{OA}}) = (s - ks)\overrightarrow{\text{OA}} + k\overrightarrow{\text{OB}}$

同様に、点 H は直線 AC 上にあるので、$\overrightarrow{\text{OH}} = s\overrightarrow{\text{OA}} + t\overrightarrow{\text{OB}}$ は

$t\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{\text{OC}}$

$\overrightarrow{\text{AH}} = l\overrightarrow{\text{AC}}$

と書ける。ただし、$l$は実数である。よって

$\overrightarrow{\text{OH}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AH}} = \overrightarrow{\text{OA}} + l(\overrightarrow{\text{OC}} - \overrightarrow{\text{OA}}) = \overrightarrow{\text{OA}} + l(t\overrightarrow{\text{OB}} - \overrightarrow{\text{OA}}) = (1-l)\overrightarrow{\text{OA}} + lt\overrightarrow{\text{OB}}$

これより、$s - ks = 1 - l$ および $k = lt$ が成り立つ。

$\triangle \text{ODB}$ において、$\angle \text{AOB} = 60^\circ$, $\angle \text{ODB} = 90^\circ$ より、$\text{OD} = \text{OB} \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$。したがって $s = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

$\triangle \text{OCA}$ において、$\angle \text{AOB} = 60^\circ$, $\angle \text{OCA} = 90^\circ$ より、$\text{OC} = \text{OA} \cos 60^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$。したがって $t = \frac{3}{4}$。

$k = lt$ より、$l = \frac{k}{t} = \frac{4k}{3}$。

$s - ks = 1 - l$ に代入して、$\frac{1}{3} - \frac{1}{3}k = 1 - \frac{4k}{3}$。

両辺に 3 をかけて、$1 - k = 3 - 4k$。よって、$3k = 2$ より $k = \frac{2}{3}$。

よって、$s = \frac{1}{3}, k = \frac{2}{3}$ より、

$\overrightarrow{\text{OH}} = (s - ks)\overrightarrow{\text{OA}} + k\overrightarrow{\text{OB}} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3})\overrightarrow{\text{OA}} + \frac{2}{3}\overrightarrow{\text{OB}} = \frac{1}{9}\overrightarrow{\text{OA}} + \frac{2}{3}\overrightarrow{\text{OB}}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{\text{OH}} = \frac{1}{9}\overrightarrow{\text{OA}} + \frac{2}{3}\overrightarrow{\text{OB}}$