直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。

(1) 線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $x + y + 1 = 0$ 上にある。

$M$ の座標は $\left(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2}\right)$ である。

したがって、

$$\frac{3+x}{2} + \frac{2+y}{2} + 1 = 0$$

$$3+x + 2+y + 2 = 0$$

$$x+y = -7 \qquad (1)$$

(2) 直線 $AB$ と直線 $x + y + 1 = 0$ は垂直に交わる。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y-2}{x-3}$ である。

直線 $x + y + 1 = 0$ の傾きは $-1$ である。

2直線が垂直に交わるので、

$$\frac{y-2}{x-3} \times (-1) = -1$$

$$\frac{y-2}{x-3} = 1$$

$$y-2 = x-3$$

$$x-y = 1 \qquad (2)$$

(1) と (2) の連立方程式を解く。

$$x+y = -7$$

$$x-y = 1$$

足し合わせると $2x = -6$ より $x = -3$

引くと $2y = -8$ より $y = -4$

3. 最終的な答え

点 $B$ の座標は $(-3, -4)$