2つの直線 $y = -x + 6$ と $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -x + 6$ と $y = (2 + \sqrt{3})x - 2$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1$ と $m_2$ とします。

$m_1 = -1$

$m_2 = 2 + \sqrt{3}$

2直線のなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta$ は次の式で表されます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$

与えられた値を代入すると、

$\tan \theta = \left| \frac{(2 + \sqrt{3}) - (-1)}{1 + (-1)(2 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - 2 - \sqrt{3}} \right| = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-1 - \sqrt{3}} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{3 + \sqrt{3}}{-(1 + \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{-(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} \right| = \left| \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{-(1 - 3)} \right|$

$\tan \theta = \left| \frac{-2\sqrt{3}}{2} \right| = \left| -\sqrt{3} \right| = \sqrt{3}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ なので、$\tan \theta = \sqrt{3}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{3}$