一辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCの中点をQとする。線分CPとAQの交点をRとするとき、三角形ABRの面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正三角形ABCがあり、辺ABを1:2に内分する点をP、辺BCの中点をQとする。線分CPとAQの交点をRとするとき、三角形ABRの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、メネラウスの定理を用いてAR:RQを求める。三角形ABPと直線CQについて、メネラウスの定理より、

$\frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QR}{RA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1$

$BC=2CQ$より$\frac{BC}{CQ}=2$, $AP:PB=1:2$より$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$。したがって、

$2 \cdot \frac{QR}{RA} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{QR}{RA}=1$

よって$AR:RQ = 1:1$となる。

次に、三角形ABQの面積を求める。正三角形ABCの面積は、

$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$

QはBCの中点なので、三角形ABQの面積は三角形ABCの面積の半分。

よって$三角形ABQ = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$

最後に、三角形ABRの面積を求める。

三角形ABQにおいて、AR:RQ=1:1であるから、三角形ABRの面積は三角形ABQの面積の半分である。

よって$三角形ABR = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$