点 $A(2,3)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (4,1)$ に平行な直線の媒介変数表示を求め、さらに媒介変数 $t$ を消去した式で表す。

## (1) の問題

1. 問題の内容

点 $A(2,3)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (4,1)$ に平行な直線の媒介変数表示を求め、さらに媒介変数 $t$ を消去した式で表す。

2. 解き方の手順

直線の媒介変数表示は、位置ベクトル $\vec{p}$ を用いて、

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$ と表される。ここで、$\vec{a}$ は点Aの位置ベクトル、$\vec{d}$ は方向ベクトルである。

点 $A(2,3)$ なので $\vec{a} = (2,3)$、ベクトル $\vec{d} = (4,1)$ である。

したがって、直線の媒介変数表示は

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

と表せる。

これを成分ごとに書くと、

$x = 2 + 4t$

$y = 3 + t$

$t$ を消去するために、$y = 3 + t$ から $t = y - 3$ を得る。

これを $x = 2 + 4t$ に代入すると、

$x = 2 + 4(y - 3)$

$x = 2 + 4y - 12$

$x = 4y - 10$

したがって、$t$ を消去した式は $x = 4y - 10$ となる。

3. 最終的な答え

媒介変数表示：

$x = 2 + 4t$

$y = 3 + t$

$t$ を消去した式：

$x = 4y - 10$

## (2) の問題

1. 問題の内容

点 $A(-1,2)$ を通り、ベクトル $\vec{d} = (2,-3)$ に平行な直線の媒介変数表示を求め、さらに媒介変数 $t$ を消去した式で表す。

2. 解き方の手順

点 $A(-1,2)$ なので $\vec{a} = (-1,2)$、ベクトル $\vec{d} = (2,-3)$ である。

したがって、直線の媒介変数表示は

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

と表せる。

これを成分ごとに書くと、

$x = -1 + 2t$

$y = 2 - 3t$

$t$ を消去するために、$x = -1 + 2t$ から $2t = x + 1$ なので $t = \frac{x+1}{2}$ を得る。

これを $y = 2 - 3t$ に代入すると、

$y = 2 - 3(\frac{x+1}{2})$

$y = 2 - \frac{3x+3}{2}$

$2y = 4 - 3x - 3$

$2y = 1 - 3x$

$3x + 2y = 1$

したがって、$t$ を消去した式は $3x + 2y = 1$ となる。

3. 最終的な答え

媒介変数表示：

$x = -1 + 2t$

$y = 2 - 3t$

$t$ を消去した式：

$3x + 2y = 1$