与えられた円の方程式 $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$ の中心の座標と半径を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた円の方程式 $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$ の中心の座標と半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を標準形 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ に変形します。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標、$r$ は円の半径です。

与えられた方程式 $x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0$ を変形します。

まず、$x$の項と$y$の項をそれぞれまとめます。

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 8y) = 0$

次に、それぞれ平方完成を行います。

$x^2 + 6x$ を平方完成するには、$(6/2)^2 = 3^2 = 9$ を加えます。

$y^2 - 8y$ を平方完成するには、$(-8/2)^2 = (-4)^2 = 16$ を加えます。

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 8y + 16) = 0 + 9 + 16$

$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$

$(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 5^2$

したがって、円の中心は $(-3, 4)$ であり、半径は $5$ です。

3. 最終的な答え

中心: $(-3, 4)$

半径: $5$