三角形ABCがあり、辺AB上に点P、辺AC上に点Qがあります。点P, Qを通る円がそれぞれ辺AB, ACとA以外の点で交わっており、その交点を仮にそれぞれB', C'とします。このとき、AP = 2, PB = 4, AQ = 6, QC = 3です。直線BCとQRの交点をSとします。直線ASとBRの交点をOとします。このとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺AB上に点P、辺AC上に点Qがあります。点P, Qを通る円がそれぞれ辺AB, ACとA以外の点で交わっており、その交点を仮にそれぞれB', C'とします。このとき、AP = 2, PB = 4, AQ = 6, QC = 3です。直線BCとQRの交点をSとします。直線ASとBRの交点をOとします。このとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を理解しておく必要があります。三角形ABCにおいて、辺AB, BC, CA上に点D, E, Fがそれぞれあるとき、3直線AD, BE, CFが1点で交わるための必要十分条件は、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

である。

次に、メネラウスの定理を理解しておく必要があります。三角形ABCにおいて、直線lが辺AB, BC, CAまたはそれらの延長とそれぞれ点D, E, Fで交わるとき、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

が成り立つ。

1. メネラウスの定理を三角形ABCと直線QRに適用する。

$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CS}{SB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{6}{3} \cdot \frac{CS}{SB} \cdot \frac{BR}{RA} = 1$

$\frac{CS}{SB} = \frac{RA}{2BR}$

2. メネラウスの定理を三角形BCSと直線ARに適用する。

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CA}{AS} \cdot \frac{SO}{OB} = 1$

3. チェバの定理を三角形ABCと点Oに適用する。

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{BS}{SC} = 2 \frac{RA}{CR}$

$\frac{SC}{BS} = \frac{CR}{2RA}$

$BS = -SB$より、$\frac{CS}{-SB} = \frac{RA}{2BR}$だから、

$\frac{CS}{SB} = \frac{-RA}{2BR}$なので、

$\frac{SC}{-BS} = \frac{CR}{2RA}$だから、$BS = -SB$より

$\frac{SC}{SB} = \frac{-CR}{2RA}$がわかる。

$\frac{1}{2} \frac{SC}{SB} = \frac{CR}{RA}$より、$\frac{1}{2}(\frac{-CR}{2RA})=\frac{CR}{RA}$より、

$\frac{-CR}{4RA} = \frac{CR}{RA}$となり、$CR=0$または$RA=-4RA$となる。

これでは解けないので、別の方法を考える。

4. 相似を使う

$\triangle APQ$と$\triangle ABC$において、$\frac{AP}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$、$\frac{AQ}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$であるため、$\triangle APQ \nsim \triangle ABC$である。

5. 別の解法

$BP \cdot BA = BR \cdot BS$なので$4 \cdot 6 = BR \cdot BS$

$CQ \cdot CA = CR \cdot CS$なので$3 \cdot 9 = CR \cdot CS$

$24 = BR \cdot BS$, $27 = CR \cdot CS$

チェバの定理から$\frac{AP}{PB} \frac{BS}{SC} \frac{CR}{RA}=1$なので$\frac{2}{4} \frac{BS}{SC} \frac{CR}{RA}=1$、$\frac{BS}{SC} \frac{CR}{RA}=2$

$\frac{AO}{OR} = \frac{AP}{PB} + \frac{AQ}{QC} = \frac{2}{4} + \frac{6}{3} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

5:2