直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの式を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ である直線で、原点を通るものの式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + 1$ の傾きを $m_1$、求める直線の傾きを $m$ とします。問題文より、$m_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

(2) 2つの直線のなす角 $\theta$ が与えられたとき、2つの直線の傾き $m_1$、$m$ について、以下の関係式が成り立ちます。

$tan\theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + mm_1} \right|$

(3) 問題文より、なす角 $\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、$tan\frac{\pi}{4} = 1$ です。

これらを先ほどの関係式に代入すると、

$1 = \left| \frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m\frac{1}{\sqrt{3}}} \right|$

絶対値を外すと、

$\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m\frac{1}{\sqrt{3}}} = \pm 1$

(4) プラスの場合：

$\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m\frac{1}{\sqrt{3}}} = 1$

$m - \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{m}{\sqrt{3}}$

$m - \frac{m}{\sqrt{3}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$

(5) マイナスの場合：

$\frac{m - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + m\frac{1}{\sqrt{3}}} = -1$

$m - \frac{1}{\sqrt{3}} = -1 - \frac{m}{\sqrt{3}}$

$m + \frac{m}{\sqrt{3}} = -1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = -1 + \frac{1}{\sqrt{3}}$

$m = \frac{-1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{-\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(-\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{-3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1}{3 - 1} = \frac{-4 + 2\sqrt{3}}{2} = -2 + \sqrt{3}$

(6) 求める直線は原点を通るので、それぞれ $y = (2 + \sqrt{3})x$、$y = (-2 + \sqrt{3})x$ となります。

3. 最終的な答え

$y = (2 + \sqrt{3})x$

$y = (-2 + \sqrt{3})x$