図のような道の面積 $S$ と、道の真ん中を通る線の長さ $l$ をそれぞれ求め、 $S = al$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$a$ は道の幅、$h$ は長方形部分の道の長さ、$2h$は長方形部分の道の幅です。選択肢の中から、適切な $S$ と $l$ の式を選びます。

1. 問題の内容

図のような道の面積 $S$ と、道の真ん中を通る線の長さ $l$ をそれぞれ求め、 $S = al$ が成り立つことを示す問題です。ここで、$a$ は道の幅、$h$ は長方形部分の道の長さ、$2h$は長方形部分の道の幅です。選択肢の中から、適切な $S$ と $l$ の式を選びます。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求めます。

道の面積は、外側の図形の面積から内側の図形の面積を引くことで求められます。

外側の図形は、長方形と半円2つ、つまり長方形と円で構成されます。

外側の長方形の横の長さは $2h + 2a$、縦の長さは $l + 2a$ です。

外側の円の半径は $a$ です。

したがって、外側の図形の面積は $(2h+2a)(l+2a) + \pi (a^2)$ です。

内側の図形は、長方形と半円2つ、つまり長方形と円で構成されます。

内側の長方形の横の長さは $2h$、縦の長さは $l$ です。

外側の円の半径は $a$ です。

したがって、内側の図形の面積は $2hl + \pi (a^2)$ です。

道の面積 $S$ は、 $(2h+2a)(l+2a) - 2hl + \pi a^2$ であり、計算すると以下のようになります。

$S = (2h+2a)(l+2a) - 2hl + \pi a^2 = 2hl + 4ha + 2al + 4a^2 - 2hl + \pi a^2 = \pi a^2 + 2al + 4ha + 4a^2$.

この式は選択肢にないため、考え方を変えます。

道の面積は、長方形の部分と半円（円）の部分に分けて考えることができます。

長方形の部分の面積は、$2ha$ が2つで $4ha$、 $2al$ が2つで $4al$ になります。

円の部分の面積は $\pi a^2$ です。

したがって、道の面積 $S$ は $\pi a^2 + 2ha + 2(2ha) + 2(2al)$ となり、

$S = \pi a^2 + 2ha + 2(l + a)a$。

道の面積は $\pi a^2$ と長方形の部分に分かれます。 長方形部分は幅 $a$、長さ $2h$ と $l$ が2つずつあるので、$2(2h)a + 2(l)a$ となります。 ここで、 $l = 2h$ と置くと、$S = 4ha + 2(l)a$ となります。

道の中央を通る線の長さ $l$ は、長方形部分の長さ $2h$ が2つと、半径 $a$ の円周 $\pi a$ になります。

したがって、$l = 2h+2h+\pi a = 4h+\pi a$ です。

道の面積 $S$ は、 $\pi a^2 + 2ha$ と道の幅 $a$ になります。よって $S = \pi a^2 + 4ha$.

$S = (\pi a^2)$ より、$a = 2h$となるので、$S=2al = a(2h)$

$S = \pi a^2 + 4ha$ と $l = \pi a + 4h$ に対応する選択肢を探すと、選択肢2が当てはまります。

3. 最終的な答え

② Α: $\pi a^2 + 2ha$ B: $\pi a+4h$