$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ のとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、 $|\vec{a} + \vec{b}|^2$ を計算します。

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})$

$= \vec{a} \cdot \vec{a} + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

$= |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

問題文より、$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 1$, $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{13}$ なので、

$(\sqrt{13})^2 = 3^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1^2$

$13 = 9 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 1$

$13 = 10 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

$3 = 2\vec{a} \cdot \vec{b}$

したがって、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{2}$