ベクトル $A = (10, 5, 2)$ とベクトル $B = (3, 4, 0)$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。 (1) ベクトル $A$ をベクトル $B$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、$B$ 方向のベクトルを求めます。 (2) ベクトル $A$ をベクトル $B$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、$B$ に垂直な方向のベクトルを求めます。 (3) ベクトル $A$ とベクトル $B$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $A = (10, 5, 2)$ とベクトル $B = (3, 4, 0)$ が与えられたとき、以下の問題を解きます。

(1) ベクトル $A$ をベクトル $B$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、$B$ 方向のベクトルを求めます。

(2) ベクトル $A$ をベクトル $B$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの、$B$ に垂直な方向のベクトルを求めます。

(3) ベクトル $A$ とベクトル $B$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $A$ の $B$ 方向への正射影ベクトルを求める。正射影ベクトルは、以下の式で計算できます。

$proj_B A = \frac{A \cdot B}{\|B\|^2} B$

まず、内積 $A \cdot B$ を計算します。

$A \cdot B = (10)(3) + (5)(4) + (2)(0) = 30 + 20 + 0 = 50$

次に、$B$ の大きさの2乗 $\|B\|^2$ を計算します。

$\|B\|^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 + 0 = 25$

したがって、$proj_B A$ は次のようになります。

$proj_B A = \frac{50}{25} B = 2 B = 2(3, 4, 0) = (6, 8, 0)$

(2) $A$ の $B$ に垂直な方向のベクトルを求める。これは、$A$ から $A$ の $B$ 方向への正射影ベクトルを引くことで求められます。

$A - proj_B A = (10, 5, 2) - (6, 8, 0) = (4, -3, 2)$

(3) $A$ と $B$ に垂直な単位ベクトルを求める。まず、$A$ と $B$ の外積を計算します。

$A \times B = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 10 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (5(0) - 2(4))i - (10(0) - 2(3))j + (10(4) - 5(3))k = -8i + 6j + 25k = (-8, 6, 25)$

次に、この外積ベクトルの大きさを計算します。

$\|A \times B\| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + 25^2} = \sqrt{64 + 36 + 625} = \sqrt{725} = 5\sqrt{29}$

最後に、外積ベクトルをその大きさで割ることで単位ベクトルを求めます。

$\frac{A \times B}{\|A \times B\|} = \frac{(-8, 6, 25)}{5\sqrt{29}} = \left( -\frac{8}{5\sqrt{29}}, \frac{6}{5\sqrt{29}}, \frac{25}{5\sqrt{29}} \right) = \left( -\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$

もう一つの解として、このベクトルの符号を反転させたものも単位ベクトルになります。$\left( \frac{8\sqrt{29}}{145}, -\frac{6\sqrt{29}}{145}, -\frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$

3. 最終的な答え

(1) $A$ の $B$ 方向へのベクトル: $(6, 8, 0)$

(2) $A$ の $B$ に垂直な方向のベクトル: $(4, -3, 2)$

(3) $A$ と $B$ に垂直な単位ベクトル: $\left( -\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$ および $\left( \frac{8\sqrt{29}}{145}, -\frac{6\sqrt{29}}{145}, -\frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$