$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $D$、線分 $AD$ を $4:1$ に内分する点を $E$、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $F$ とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{CE}$、$\overrightarrow{CF}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $D$、線分 $AD$ を $4:1$ に内分する点を $E$、辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $F$ とする。$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$ とするとき、$\overrightarrow{CE}$、$\overrightarrow{CF}$ を $\vec{b}$、$\vec{c}$ で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{CE}$ を $\vec{b}, \vec{c}$ で表す。

まず、$\overrightarrow{AD}$ を求める。$D$ は $BC$ の中点なので、

$\overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$

次に、$\overrightarrow{AE}$ を求める。$E$ は $AD$ を $4:1$ に内分するので、

$\overrightarrow{AE} = \frac{4}{5} \overrightarrow{AD} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c}) = \frac{2}{5} (\vec{b} + \vec{c})$

$\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AC} = \frac{2}{5} (\vec{b} + \vec{c}) - \vec{c} = \frac{2}{5} \vec{b} + \frac{2}{5} \vec{c} - \vec{c} = \frac{2}{5} \vec{b} - \frac{3}{5} \vec{c}$

(2) $\overrightarrow{CF}$ を $\vec{b}, \vec{c}$ で表す。

$F$ は $AB$ を $2:1$ に内分するので、

$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3} \vec{b}$

$\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AC} = \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{c}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{CE} = \frac{2}{5} \vec{b} - \frac{3}{5} \vec{c}$

$\overrightarrow{CF} = \frac{2}{3} \vec{b} - \vec{c}$