直角三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 90^\circ$であり、Gは三角形ABCの重心である。Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。GE = 4、DC = 5であるとき、辺ACの長さを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 90^\circ$であり、Gは三角形ABCの重心である。Dは直線AGと辺BCの交点、Eは直線CGと辺ABの交点である。GE = 4、DC = 5であるとき、辺ACの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、重心の性質から、AG:GD = 2:1、CG:GE = 2:1である。

したがって、CG = 2GE = 2 * 4 = 8となる。

また、DはBCの中点、EはABの中点である。

三角形ABCにおいて、三平方の定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2$である。

BD = DC = 5なので、BC = 2 * BD = 2 * 5 = 10となる。

BE = EAなので、AB = 2 * BEとなる。

次に、三角形EBGと三角形CBGを考える。

BGは共通、∠EBG = ∠CBG = 90度。

点Gは重心なので、中線は3等分される。

したがって、三角形EBGと三角形CBGの面積比は $EG:GC = 1:2$。

したがって、EG = 4, GC = 8なので、CG/EG = 2。

重心の性質から、AE = EB、BD = DCである。

したがって、EはABの中点、DはBCの中点である。

中点連結定理より、ED = $\frac{1}{2}$ACとなる。

三角形GDBと三角形GCEを考える。

GD = $\frac{1}{3}$AD, GE = $\frac{1}{3}$CEである。

$\frac{GD}{AG} = \frac{1}{2}, \frac{GE}{GC} = \frac{1}{2}$

三角形CBGの面積をSとすると、S = $\frac{1}{2} \times BC \times BE = \frac{1}{2} \times 10 \times BE = 5BE$

また、三角形EBGの面積は$\frac{1}{2}$Sとなる。

$AC = x$とすると、$AC^2 = AB^2 + BC^2 = AB^2 + 10^2$

$AB^2 = AC^2 - 100$

また、$CG = 8$。

Gは重心なので、中線ADとBEの交点。

BC = 10、AB = yとする。

中線定理より、$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$

$BC^2 + AC^2 = 2(CE^2 + AE^2)$

$y^2 + x^2 = 2(AD^2 + 25)$

$100 + x^2 = 2(CE^2 + y^2/4)$

Gは重心なので、$\frac{AG}{GD} = 2$, $\frac{CG}{GE} = 2$

$GD = \frac{AG}{2}$、 $GE = \frac{CG}{2} = 4$、 $CG = 8$

ABをy、BCを10とすると、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 = y^2 + 25$

$CE^2 = BC^2 + BE^2 = 100 + (y/2)^2 = 100 + \frac{y^2}{4}$

三角形ABCの面積Sは、$\frac{1}{2} AB \times BC = \frac{1}{2} \times y \times 10 = 5y$

重心Gを通るので、ADとCEは中線。

$AG:GD = 2:1$、 $CG:GE = 2:1$

三角形GBCの面積は$\frac{1}{3}$S

$\frac{1}{2} \times GD \times BC = \frac{1}{3} \times 5y$

$GD = \frac{2y}{3}$

$BD = 5$なので、$AG = 2GD$、$AG^2 = AB^2 + BD^2 = y^2 + 25$

よって、$(\frac{4}{9})AD^2 = y^2 + 25$

$\frac{AC}{AG}$を求める

3. 最終的な答え

$AC = 5\sqrt{5}$