この問題は、いくつかの円や直線に関する問題です。具体的には、以下の問題が含まれます。 * 直線に関して点と対称な点の座標を求める問題。 * 与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題。 * 円と直線の交点の座標を求める問題。 * 円の接線の方程式を求める問題。 * 円によって切り取られる線分の長さを求める問題。 * 2つの円の交点を通る円や直線の方程式を求める問題。

1. 問題の内容

この問題は、いくつかの円や直線に関する問題です。具体的には、以下の問題が含まれます。

* 直線に関して点と対称な点の座標を求める問題。

* 与えられた条件を満たす円の方程式を求める問題。

* 円と直線の交点の座標を求める問題。

* 円の接線の方程式を求める問題。

* 円によって切り取られる線分の長さを求める問題。

* 2つの円の交点を通る円や直線の方程式を求める問題。

2. 解き方の手順

以下に、問題ごとの解き方の手順を説明します。

* **問題8:**

1. 直線 $l: 2x - y - 3 = 0$ に対して、点 $A(1, 4)$ の対称点 $B(x, y)$ を求める。

2. 線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、$\left(\frac{x+1}{2}, \frac{y+4}{2}\right)$ を $l$ の方程式に代入する。

3. $2\left(\frac{x+1}{2}\right) - \left(\frac{y+4}{2}\right) - 3 = 0$ より、 $2x - y - 8 = 0$ ・・・①

4. 直線 $AB$ は直線 $l$ と垂直なので、$\frac{y-4}{x-1} = -\frac{1}{2}$ より、 $x + 2y - 9 = 0$ ・・・②

5. ①と②を連立させて $x, y$ を求める。

* **問題9:**

(1) 中心 $(2, 3)$, 半径 $4$ の円の方程式は、$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$。

(2) 2点 $A(3, 4)$, $B(-1, 2)$ を直径の両端とする円の中心は $\left(\frac{3-1}{2}, \frac{4+2}{2}\right) = (1, 3)$。半径は $\frac{1}{2}\sqrt{(3+1)^2+(4-2)^2} = \sqrt{5}$。よって、$(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$。

(3) 3点 $A(1, 3)$, $B(5, -5)$, $C(4, 2)$ を通る円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおき、各点の座標を代入して $a, b, c$ を求める。

(4) 点 $(4, 2)$ を通り、$x$ 軸と $y$ 軸の両方に接する円の中心は $(r, r)$ とおける。半径も $r$ なので、$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ に $(4, 2)$ を代入して $r$ を求める。

(5) 中心が直線 $y = x$ 上にあるので、中心は $(t, t)$ とおける。半径が $\sqrt{13}$ で点 $(2, 1)$ を通るので、$(x-t)^2 + (y-t)^2 = 13$ に $(2, 1)$ を代入して $t$ を求める。

* **問題10:**

1. 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x - 1$ の交点を求める。

2. $y = x - 1$ を $x^2 + y^2 = 5$ に代入すると、$x^2 + (x - 1)^2 = 5$。

3. $2x^2 - 2x - 4 = 0$ より、$x^2 - x - 2 = 0$。

4. $(x - 2)(x + 1) = 0$ より、$x = 2, -1$。

5. $x = 2$ のとき $y = 1$, $x = -1$ のとき $y = -2$。

* **問題11:**

1. 円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 $P(3, 1)$ における接線の方程式を求める。

2. 円の中心は原点なので、接線の傾きは $-\frac{3}{1} = -3$。

3. よって、接線の方程式は $y - 1 = -3(x - 3)$ より、$y = -3x + 10$。または $3x + y = 10$。

* **問題12:**

1. 直線 $y = x - 2$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ によって切り取られてできる線分の長さを求める。

2. $y = x - 2$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入すると、$x^2 + (x - 2)^2 = 10$。

3. $2x^2 - 4x - 6 = 0$ より、$x^2 - 2x - 3 = 0$。

4. $(x - 3)(x + 1) = 0$ より、$x = 3, -1$。

5. $x = 3$ のとき $y = 1$, $x = -1$ のとき $y = -3$。

6. 2点 $(3, 1), (-1, -3)$ 間の距離は $\sqrt{(3+1)^2 + (1+3)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。

* **問題13:**

(1) 2つの円 $x^2 + y^2 = 4$, $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ の2つの交点と点 $(1, 1)$ を通る円の方程式を求める。$x^2+y^2-4 + k(x^2+y^2-8x-4y+4) = 0$ に (1,1) を代入すると、$1+1-4 + k(1+1-8-4+4)=0$ より、$-2+k(-6)=0$, $k = -1/3$。よって、$x^2+y^2-4 - (1/3)(x^2+y^2-8x-4y+4) = 0$, $3x^2+3y^2-12 - x^2-y^2+8x+4y-4=0$, $2x^2+2y^2+8x+4y-16 = 0$, $x^2+y^2+4x+2y-8=0$。

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$x^2 + y^2 - 4 - (x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$ より、$8x + 4y - 8 = 0$, $2x + y - 2 = 0$。

3. 最終的な答え

* **問題8:** $B(x, y) = (\frac{26}{5}, \frac{2}{5})$

* **問題9:**

(1) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$

(2) $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 5$

(3) $x^2 + y^2 -4x +2y - 15=0$

(4) $(x-2)^2+(y-2)^2 = 4$

(5) $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 13$ or $(x+1)^2 + (y+1)^2 = 13$

* **問題10:** $(2, 1), (-1, -2)$

* **問題11:** $3x + y = 10$

* **問題12:** $4\sqrt{2}$

* **問題13:**

(1) $x^2+y^2+4x+2y-8=0$

(2) $2x + y - 2 = 0$