円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x - 1$ の共有点の座標を求めます。

## 問題10

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = x - 1$ の共有点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式と直線の方程式を連立させて解きます。直線の方程式を円の方程式に代入します。

$x^2 + (x - 1)^2 = 5$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 5$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めます。

$x = 2$ のとき、$y = 2 - 1 = 1$

$x = -1$ のとき、$y = -1 - 1 = -2$

3. 最終的な答え

共有点の座標は $(2, 1)$ と $(-1, -2)$ です。

## 問題11

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ 上の点 P $(3, 1)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で表されます。

この問題では、$x_1 = 3$, $y_1 = 1$, $r^2 = 10$ です。

したがって、接線の方程式は $3x + y = 10$ です。

3. 最終的な答え

接線の方程式は $3x + y = 10$ です。

## 問題12

1. 問題の内容

直線 $y = x - 2$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ によって切り取られてできる線分の長さを求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式と直線の方程式を連立させて、交点の座標を求めます。

$x^2 + (x - 2)^2 = 10$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき、$y = 3 - 2 = 1$

$x = -1$ のとき、$y = -1 - 2 = -3$

交点の座標は $(3, 1)$ と $(-1, -3)$ です。

2点間の距離を求める公式を使って、線分の長さを計算します。

線分の長さ = $\sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

線分の長さは $4\sqrt{2}$ です。

## 問題13

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 4$ と $x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4 = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) 2つの円の2つの交点と点 $(1, 1)$ を通る円の方程式を求めます。

(2) 2つの円の2つの交点を通る直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の交点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$ と表されます。

これが点 $(1, 1)$ を通るので、

$1 + 1 - 4 + k(1 + 1 - 8 - 4 + 4) = 0$

$-2 + k(-6) = 0$

$-2 - 6k = 0$

$k = -\frac{1}{3}$

したがって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - 4 - \frac{1}{3}(x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

$3(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 12 - x^2 - y^2 + 8x + 4y - 4 = 0$

$2x^2 + 2y^2 + 8x + 4y - 16 = 0$

$x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$

(2) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$x^2 + y^2 - 4 - (x^2 + y^2 - 8x - 4y + 4) = 0$ と表されます。

$x^2 + y^2 - 4 - x^2 - y^2 + 8x + 4y - 4 = 0$

$8x + 4y - 8 = 0$

$2x + y - 2 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 求める円の方程式は $x^2 + y^2 + 4x + 2y - 8 = 0$ です。

(2) 求める直線の方程式は $2x + y - 2 = 0$ です。