正方形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}$ とするとき、次のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}$で表す問題である。 (1) $\vec{AO}$ (2) $\vec{DM}$

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。$\vec{AB} = \vec{a}, \vec{AD} = \vec{b}$ とするとき、次のベクトルを$\vec{a}, \vec{b}$で表す問題である。

(1) $\vec{AO}$

(2) $\vec{DM}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AO}$について

点Oは正方形ABCDの対角線の交点であるため、ACの中点である。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}$

したがって、

$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

(2) $\vec{DM}$について

$\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM}$

$\vec{DC} = -\vec{AB} = -\vec{a}$

$\vec{CM} = \frac{1}{2} \vec{CB} = -\frac{1}{2}\vec{BC} = -\frac{1}{2}\vec{AD} = -\frac{1}{2}\vec{b}$

したがって、

$\vec{DM} = -\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) $\vec{DM} = -\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$