原点Oを中心とする半径4の円C上に点P(4cosθ, 4sinθ)をとる。点Pから直線x=-5とy=-5に下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。長方形PQARの面積をSとする。(1)Sをsinθとcosθを用いて表す。(2)t=sinθ+cosθとおき、sinθcosθをtの式で表す。Sをtの式で表し、点Pが円Cの周上を動くときのtの取り得る範囲を求める。(3)面積Sの最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径4の円C上に点P(4cosθ, 4sinθ)をとる。点Pから直線x=-5とy=-5に下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。長方形PQARの面積をSとする。(1)Sをsinθとcosθを用いて表す。(2)t=sinθ+cosθとおき、sinθcosθをtの式で表す。Sをtの式で表し、点Pが円Cの周上を動くときのtの取り得る範囲を求める。(3)面積Sの最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標は(4cosθ, 4sinθ)。点Qの座標は(-5, 4sinθ), 点Rの座標は(4cosθ, -5)。

PQ = 4cosθ - (-5) = 4cosθ + 5

PR = 4sinθ - (-5) = 4sinθ + 5

S = PQ * PR = (4sinθ + 5)(4cosθ + 5)

(2)

t = sinθ + cosθ

$t^2 = (sinθ + cosθ)^2 = sin^2θ + 2sinθcosθ + cos^2θ = 1 + 2sinθcosθ$

$2sinθcosθ = t^2 - 1$

$sinθcosθ = \frac{1}{2}(t^2 - 1)$

S = (4sinθ + 5)(4cosθ + 5) = 16sinθcosθ + 20sinθ + 20cosθ + 25

= 16sinθcosθ + 20(sinθ + cosθ) + 25

= $16 * \frac{1}{2}(t^2 - 1) + 20t + 25$

= $8(t^2 - 1) + 20t + 25$

= $8t^2 - 8 + 20t + 25$

= $8t^2 + 20t + 17$

t = sinθ + cosθ = $\sqrt{2}sin(θ + \frac{\pi}{4})$

$-\frac{\pi}{2} \leq θ \leq \frac{\pi}{2}$ より $\theta = -\frac{\pi}{4}$ のとき最小値 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$となり、$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき最大値$\frac{\sqrt{2}}{2}$となる。

$-1 \leq sin(θ + \frac{\pi}{4}) \leq 1$より $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3)

S = $8t^2 + 20t + 17 = 8(t^2 + \frac{5}{2}t) + 17 = 8(t + \frac{5}{4})^2 - 8 * (\frac{25}{16}) + 17 = 8(t + \frac{5}{4})^2 - \frac{25}{2} + 17 = 8(t + \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{2}$

t = $-\frac{5}{4}$ の時、Sは最小値$\frac{9}{2}$をとる。

t = $\sqrt{2}$の時、Sは最大値$8(\sqrt{2} + \frac{5}{4})^2 + \frac{9}{2} = 8(2 + \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{25}{16}) + \frac{9}{2} = 16 + 20\sqrt{2} + \frac{25}{2} + \frac{9}{2} = 16 + 20\sqrt{2} + 17 = 33 + 20\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) S = (4sinθ + 5)(4cosθ + 5)

(2) sinθcosθ = $\frac{1}{2}(t^2 - 1)$

S = $8t^2 + 20t + 17$

$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) 最大値は33 + 20$\sqrt{2}$, 最小値は$\frac{9}{2}$