正方形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$と$\overrightarrow{DO}$を$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$で表す。Oは対角線の交点である。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$ とするとき、$\overrightarrow{AO}$と$\overrightarrow{DO}$を$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$で表す。Oは対角線の交点である。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AO}$を求める。

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}$である。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$

よって、$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$

したがって、$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$

(2) $\overrightarrow{DO}$を求める。

$\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{AO} - \overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) - \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} - \frac{1}{2} \overrightarrow{b}$