平行四辺形ABCDにおいて、対角線のなす角を2等分する直線が辺AB, BC, CD, DAと交わる点をそれぞれE, F, G, Hとする。AC = 6, BD = 10であるとき、以下のものを求める。 (1) AE : EB (2) 四角形EFGHの周の長さ

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線のなす角を2等分する直線が辺AB, BC, CD, DAと交わる点をそれぞれE, F, G, Hとする。AC = 6, BD = 10であるとき、以下のものを求める。

(1) AE : EB

(2) 四角形EFGHの周の長さ

2. 解き方の手順

(1)

平行四辺形ABCDにおいて、対角線は互いに他を二等分する。よって、対角線の交点をOとすると、AO = OC = $\frac{AC}{2}$ = 3, BO = OD = $\frac{BD}{2}$ = 5 となる。

角AOBの二等分線が辺ABと交わる点がEなので、角の二等分線の性質より、

AE : EB = AO : BO = 3 : 5

(2)

同様に考えると、BF : FC = BO : CO = 5 : 3, CG : GD = CO : DO = 3 : 5, DH : HA = DO : AO = 5 : 3 となる。

平行四辺形の性質から、AB平行CD、AD平行BCである。

また、角の二等分線の性質より、向かい合う角の二等分線は平行となるので、EFGHは平行四辺形になる。

$\triangle AOD$において、DH:HA = 5:3であり、DO:OA=5:3である。よって、$\triangle AOD$は二等辺三角形であり、$\angle ADO = \angle DAO$。また、$\angle AHO = \angle ADO$と$\angle AEO = \angle AOD$より、$\triangle AEH$は二等辺三角形である。$AH=AE$

$\triangle BOC$において、BF:FC = 5:3であり、BO:OC=5:3である。よって、$\triangle BOC$は二等辺三角形であり、$\angle BCO = \angle CBO$。また、$\angle BFO = \angle BCO$と$\angle BEO = \angle BOC$より、$\triangle BFE$は二等辺三角形である。$BE=BF$

よって、$EH=AD(\frac{AH}{AD}-\frac{AE}{AB})=AD(\frac{3}{8}-\frac{3}{8})=0$.

$EH = \frac{3}{8}AD + \frac{5}{8}AD = AD$

$EF = \frac{5}{8}BC$

EH = $\frac{5}{8}AD$, EF = $\frac{3}{8}AB$。

EFGHの周の長さ = 2(EF+EH) = 2($\frac{5}{8}AB + \frac{3}{8}AD$).

平行四辺形ABCDは角の二等分線が辺と交わる点を結んでいるので、菱形になる。

よって、AB=ADとなるので、 EFGHの周の長さ = 2($\frac{5}{8}AB + \frac{3}{8}AB$) = 2($\frac{8}{8}AB$) = 2AB.

$\triangle ABE$と$\triangle EBO$において、$\angle AOE=\angle BOE$,$AO=3,BO=5$,$AE:EB=3:5$

四角形EFGHは長方形になる。

$\angle AOE=90$なので、平行四辺形ABCDはひし形となる。

$\triangle ABE相似\triangle ABC$なので、$AE:AB=3:8=3:5+3$

周の長さはAC+BD=6+10=16

3. 最終的な答え

(1) AE : EB = 3 : 5

(2) 四角形EFGHの周の長さ = 16