原点を中心とする円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとする。Cを平行移動して、中心が直線 $y=2x$ 上にあり、直線 $y=-1$ に接するようにして得られる二つの円を $C_1$, $C_2$ とする。ただし、$C_1$ の中心は第1象限にあるとする。 (1) $C_1$ の中心 $O_1$ の座標、$C_1$ の方程式を求め、$C$ と $C_1$ の交点 $P, Q$ について、線分 $PQ$ の中点の座標と直線 $PQ$ の方程式を求める。 (2) $C_2$ の中心を $O_2$ とするとき、$O_2$ の座標と線分 $O_1 O_2$ の中点 $M$ の座標を求める。

1. 問題の内容

原点を中心とする円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとする。Cを平行移動して、中心が直線 $y=2x$ 上にあり、直線 $y=-1$ に接するようにして得られる二つの円を $C_1$, $C_2$ とする。ただし、$C_1$ の中心は第1象限にあるとする。

(1) $C_1$ の中心 $O_1$ の座標、$C_1$ の方程式を求め、$C$ と $C_1$ の交点 $P, Q$ について、線分 $PQ$ の中点の座標と直線 $PQ$ の方程式を求める。

(2) $C_2$ の中心を $O_2$ とするとき、$O_2$ の座標と線分 $O_1 O_2$ の中点 $M$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $C$ の半径は $r = \sqrt{4} = 2$ である。

$C_1$ の中心 $O_1$ は直線 $y = 2x$ 上にあり、$y = -1$ に接するので、$O_1$ の座標を $(a, 2a)$ とおくと、$2a+1 = 2$ より $2a = 1$, $a = \frac{1}{2}$。したがって、$O_1$ の座標は $(\frac{1}{2}, 1)$ である。

$C_1$ の方程式は

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y-1)^2 = 4$

$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 2y + 1 = 4$

$x^2 + y^2 - x - 2y + \frac{5}{4} - 4 = 0$

$x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0$

$4x^2 + 4y^2 - 4x - 8y - 11 = 0$

$x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0$

$C: x^2 + y^2 = 4$

$C_1: (x-\frac{1}{2})^2 + (y-1)^2 = 4$

$C_1: x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 2y + 1 = 4$

$x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0$

$C - C_1: x + 2y + \frac{11}{4} - 4 = 0$

$x + 2y - \frac{5}{4} = 0$

$PQ: x + 2y - \frac{5}{4} = 0$

$x + 2y = \frac{5}{4}$

$2y = -x + \frac{5}{4}$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{8}$

線分 $PQ$ の中点は $O_1$ から直線 $x+2y=\frac{5}{4}$ への垂線の足である。

$x + 2y = \frac{5}{4}$

中点を $(x_0, y_0)$ とすると、

$(x_0, y_0) = (x, -\frac{1}{2}x+\frac{5}{8})$

傾きは $2$ である。直線 $O_1$ と $PQ$ の中点を結ぶ直線は $y - 1 = 2(x - \frac{1}{2})$

$y = 2x$

$x + 2(2x) = \frac{5}{4}$

$5x = \frac{5}{4}$

$x = \frac{1}{4}$

$y = 2x = \frac{1}{2}$

中点の座標 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$

(2)

$C_2$ の中心 $O_2$ の座標は $(\frac{1}{2}, 1)$ を原点に関して対称移動した点なので、$(-\frac{1}{2}, -1)$

線分 $O_1 O_2$ の中点 $M$ の座標は $(\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{2}, \frac{1-1}{2}) = (0, 0)$

3. 最終的な答え

(1) $O_1(\frac{1}{2}, 1)$、$x^2 + y^2 - x - 2y - \frac{11}{4} = 0$、$PQ$ の中点の座標は $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{8}$

(2) $O_2(-\frac{1}{2}, -1)$、$M(0, 0)$