AB, AC, CBをそれぞれ直径とする円が描かれており、$AC = 2a$, $CB = 2b$である。色をつけた部分をP、そうでない部分をQとするとき、PとQの面積の比を求める。

1. 問題の内容

AB, AC, CBをそれぞれ直径とする円が描かれており、$AC = 2a$, $CB = 2b$である。色をつけた部分をP、そうでない部分をQとするとき、PとQの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの円の面積を求める。

- ABを直径とする円の半径は$a+b$なので、面積は$\pi (a+b)^2 = \pi(a^2+2ab+b^2)$。

- ACを直径とする円の半径は$a$なので、面積は$\pi a^2$。

- CBを直径とする円の半径は$b$なので、面積は$\pi b^2$。

Pの面積は、ABを直径とする円の面積からACを直径とする円とCBを直径とする円の面積を引いたものに、ACを直径とする円とCBを直径とする円を足したものであるから、Pの面積はABを直径とする円の面積からACを直径とする円とCBを直径とする円を引いた面積にACを直径とする円とCBを直径とする円を足したものである。つまり、大きい円から小さい円2つを引いて、小さい円2つを足したものを考える。これは結局、大きい円の面積から小さい円2つを引いた面積に小さい円2つを足しただけなので、大きい円の面積から小さい円2つを引いて、小さい円2つを足したものがPである。

Pの面積は、ABを直径とする円の面積から、ACを直径とする円とCBを直径とする円を除いた部分なので、

$P = \pi (a+b)^2 - \pi a^2 - \pi b^2 = \pi(a^2 + 2ab + b^2) - \pi a^2 - \pi b^2 = 2\pi ab$

Qの面積は、ACを直径とする円とCBを直径とする円の面積の和なので、

$Q = \pi a^2 + \pi b^2$

したがって、PとQの面積の比は

$P:Q = 2\pi ab : (\pi a^2 + \pi b^2) = 2ab : (a^2 + b^2)$

3. 最終的な答え

P:Q = 2ab : (a^2 + b^2)