3点 $A(2, -1, 4)$, $B(1, 3, 0)$, $C(3, 1, 2)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心の座標を、原点 $O$ に関する位置ベクトルを利用して求めよ。

1. 問題の内容

3点 $A(2, -1, 4)$, $B(1, 3, 0)$, $C(3, 1, 2)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心の座標を、原点 $O$ に関する位置ベクトルを利用して求めよ。

2. 解き方の手順

重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は、各頂点の位置ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて、以下のように表されます。

$\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

ここで、$\vec{a} = (2, -1, 4)$, $\vec{b} = (1, 3, 0)$, $\vec{c} = (3, 1, 2)$ であるから、

$\vec{g} = \frac{(2, -1, 4) + (1, 3, 0) + (3, 1, 2)}{3}$

$\vec{g} = \frac{(2+1+3, -1+3+1, 4+0+2)}{3}$

$\vec{g} = \frac{(6, 3, 6)}{3}$

$\vec{g} = (2, 1, 2)$

したがって、重心 $G$ の座標は $(2, 1, 2)$ となります。

3. 最終的な答え

重心の座標: $(2, 1, 2)$