円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形すると、$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2$) と表わせる。なぜ $z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2 + |z|^2$) ではないのか？

1. 問題の内容

円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形すると、$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2$) と表わせる。なぜ $z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2 + |z|^2$) ではないのか？

2. 解き方の手順

円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形してみる。

まず両辺を2乗すると、

$|z - \alpha|^2 = r^2$

複素数の絶対値の2乗は、その複素数とその共役複素数の積で表せるから、

$(z - \alpha)(\overline{z - \alpha}) = r^2$

$(z - \alpha)(\bar{z} - \bar{\alpha}) = r^2$

$z\bar{z} - z\bar{\alpha} - \alpha\bar{z} + \alpha\bar{\alpha} = r^2$

ここで、$|z|^2 = z\bar{z}$ および $|\alpha|^2 = \alpha\bar{\alpha}$ であるから、

$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + |\alpha|^2 = r^2$

$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + |\alpha|^2 - r^2 = 0$

ここで、$k = |\alpha|^2 - r^2$ とおくと、

$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$

したがって、$k = |\alpha|^2 - r^2$ であり、$k = |\alpha|^2 - r^2 + |z|^2$ ではない。

問題文にある、$k = |\alpha|^2 - r^2 + |z|^2$ とすると、円の方程式は成り立たない。

$|z|^2 = z\bar{z}$ であることは、$z$ が円周上の点であればいつでも成り立つ。しかし、$k$ は定数でなければならない。$k$ に $|z|^2$ が含まれてしまうと、$z$ の値によって $k$ が変化してしまうため、$k$ を定数として定めることができなくなる。

3. 最終的な答え

$k = |\alpha|^2 - r^2 + |z|^2$ とすると、$k$ が定数ではなく、$z$ に依存する変数になってしまうため、円の方程式を表せない。