図において、線分AB, AC, CBをそれぞれ直径とする円が描かれており、$AC = 2a$、$CB = 2b$である。色をつけた部分をP、そうでない部分をQとする。PとQの面積の比を求める。

1. 問題の内容

図において、線分AB, AC, CBをそれぞれ直径とする円が描かれており、$AC = 2a$、$CB = 2b$である。色をつけた部分をP、そうでない部分をQとする。PとQの面積の比を求める。

2. 解き方の手順

まず、各円の半径を求めます。

- ACを直径とする円の半径は $a$

- CBを直径とする円の半径は $b$

- ABを直径とする円の半径は $(2a + 2b)/2 = a + b$

次に、それぞれの円の面積を求めます。

- ACを直径とする円の面積は $\pi a^2$

- CBを直径とする円の面積は $\pi b^2$

- ABを直径とする円の面積は $\pi (a+b)^2$

Pの面積は、ACを直径とする円の面積とCBを直径とする円の面積の和です。

$P = \pi a^2 + \pi b^2$

Qの面積は、ABを直径とする円の面積からPの面積を引いたものです。

$Q = \pi (a+b)^2 - (\pi a^2 + \pi b^2) = \pi (a^2 + 2ab + b^2) - \pi a^2 - \pi b^2 = \pi (a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2) = \pi (2ab) = 2\pi ab$

PとQの面積の比は、

$P:Q = (\pi a^2 + \pi b^2) : (2\pi ab) = \pi (a^2 + b^2) : 2\pi ab = (a^2 + b^2) : 2ab$

3. 最終的な答え

PとQの面積の比は $(a^2 + b^2) : 2ab$