円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形すると、$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2$) と表せる。この変形過程を示す。

1. 問題の内容

円の方程式 $|z - \alpha| = r$ を変形すると、$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$ ($k = |\alpha|^2 - r^2$) と表せる。この変形過程を示す。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式 $|z - \alpha| = r$ の両辺を2乗します。

$|z - \alpha|^2 = r^2$

複素数 $w$ に対して、$|w|^2 = w\bar{w}$ が成り立つので、

$(z - \alpha)(\bar{z} - \bar{\alpha}) = r^2$

展開すると、

$z\bar{z} - z\bar{\alpha} - \alpha\bar{z} + \alpha\bar{\alpha} = r^2$

ここで、$\alpha\bar{\alpha} = |\alpha|^2$ なので、

$z\bar{z} - z\bar{\alpha} - \alpha\bar{z} + |\alpha|^2 = r^2$

移項して、

$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + |\alpha|^2 - r^2 = 0$

$k = |\alpha|^2 - r^2$ とおくと、

$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$

3. 最終的な答え

$z\bar{z} - \bar{\alpha}z - \alpha\bar{z} + k = 0$, ただし $k = |\alpha|^2 - r^2$