三角形ABCが半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円に内接しており、$\cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $AC = 1$ である。このとき、$\sin \angle BAC$, $BC$, $\sin \angle ABC$, $\cos \angle ABC$, $AB$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCが半径 $\frac{2\sqrt{14}}{7}$ の円に内接しており、$\cos \angle BAC = -\frac{\sqrt{2}}{4}$, $AC = 1$ である。このとき、$\sin \angle BAC$, $BC$, $\sin \angle ABC$, $\cos \angle ABC$, $AB$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle BAC$ の計算

$\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$ より、

$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

$\sin \angle BAC > 0$ なので、$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$

(2) $BC$ の計算 (正弦定理)

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin \angle BAC} = 2R$

$BC = 2R \sin \angle BAC = 2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{7} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{4 \cdot 14}{7 \cdot 4} = 2$

(3) $AB$ の計算 (余弦定理)

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$2^2 = AB^2 + 1^2 - 2 \cdot AB \cdot 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

$4 = AB^2 + 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}AB$

$AB^2 + \frac{\sqrt{2}}{2}AB - 3 = 0$

$2AB^2 + \sqrt{2}AB - 6 = 0$

$AB = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2 - 4(2)(-6)}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2+48}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{50}}{4} = \frac{-\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{4}$

$AB > 0$ より、$AB = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}$

(4) $\sin \angle ABC$ の計算 (正弦定理)

$\frac{AC}{\sin \angle ABC} = 2R$

$\sin \angle ABC = \frac{AC}{2R} = \frac{1}{2 \cdot \frac{2\sqrt{14}}{7}} = \frac{7}{4\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{4 \cdot 14} = \frac{\sqrt{14}}{8}$

(5) $\cos \angle ABC$ の計算

$\cos^2 \angle ABC = 1 - \sin^2 \angle ABC = 1 - \left(\frac{\sqrt{14}}{8}\right)^2 = 1 - \frac{14}{64} = 1 - \frac{7}{32} = \frac{25}{32}$

$\cos \angle ABC = \pm \sqrt{\frac{25}{32}} = \pm \frac{5}{4\sqrt{2}} = \pm \frac{5\sqrt{2}}{8}$

ここで、$\angle BAC$ が鈍角であることから、$\angle ABC$ は鋭角なので、$\cos \angle ABC > 0$

よって、$\cos \angle ABC = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

3. 最終的な答え

$\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{14}}{4}$

$BC = 2$

$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$\cos \angle ABC = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

$AB = \sqrt{2}$