正六角形 ABCDEF において、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{AF} = \vec{b}$ とする。 (1) $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AE}$ を、それぞれ $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。 (2) 対角線 CE と DF の交点を P とするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。 (3) 対角線 BF と線分 AP の交点を Q とするとき、BQ:QF を求める。

1. 問題の内容

正六角形 ABCDEF において、$\overrightarrow{AB} = \vec{a}$、$\overrightarrow{AF} = \vec{b}$ とする。

(1) $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AE}$ を、それぞれ $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

(2) 対角線 CE と DF の交点を P とするとき、$\overrightarrow{AP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

(3) 対角線 BF と線分 AP の交点を Q とするとき、BQ:QF を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AE}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

正六角形なので、$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AF} = \vec{b}$ である。

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = 2\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} + 2\vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BA} = -\vec{a}$

$\overrightarrow{AE} = \vec{a} + 2\vec{b} - \vec{a} = 2\vec{b}$

(2) $\overrightarrow{AP}$ を $\vec{a}$、$\vec{b}$ で表す。

正六角形の性質より、P は DF の中点かつ CE の中点である。

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{a} + 2\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(2\vec{b} + \vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$

(3) BQ:QF を求める。

点 Q は BF 上にあるので、ある実数 k を用いて、

$\overrightarrow{AQ} = (1-k)\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AF} = (1-k)\vec{a} + k\vec{b}$ と表せる。

また、点 Q は AP 上にあるので、ある実数 l を用いて、

$\overrightarrow{AQ} = l\overrightarrow{AP} = l(\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}) = \frac{l}{2}\vec{a} + \frac{3l}{2}\vec{b}$ と表せる。

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-k = \frac{l}{2}$

$k = \frac{3l}{2}$

$1 - \frac{3l}{2} = \frac{l}{2}$

$1 = 2l$

$l = \frac{1}{2}$

$k = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

$\overrightarrow{AQ} = (1-k)\overrightarrow{AB} + k\overrightarrow{AF}$ より、

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{AQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AF}$ なので、

$\overrightarrow{AQ} = (1-t)\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AF}$

$\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AQ} = -\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{3}{4}(-\vec{a} + \vec{b})$

$\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{BQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BF}$

$\overrightarrow{QF} = \overrightarrow{BF} - \overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BF} - \frac{3}{4}\overrightarrow{BF} = \frac{1}{4}\overrightarrow{BF}$

$|\overrightarrow{BQ}| = \frac{3}{4}|\overrightarrow{BF}|$

$|\overrightarrow{QF}| = \frac{1}{4}|\overrightarrow{BF}|$

BQ:QF = 3:1

3. 最終的な答え

(1)

$\overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{AD} = \vec{a} + 2\vec{b}$

$\overrightarrow{AE} = 2\vec{b}$

(2)

$\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b}$

(3)

BQ:QF = 3:1