Oを原点とする座標平面上に2点A(6, 0), B(3, 3)がある。線分ABを2:1に内分する点をP、1:2に外分する点をQとする。3点O, P, Qを通る円をCとする。 (1) 点Pと点Qの座標を求める。 (2) 円Cの方程式を求める。 (3) 円Cとx軸の2つの交点のうち、原点Oと異なる交点をRとする。Rが線分OAをどのように外分するかを求める。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標平面上に2点A(6, 0), B(3, 3)がある。線分ABを2:1に内分する点をP、1:2に外分する点をQとする。3点O, P, Qを通る円をCとする。

(1) 点Pと点Qの座標を求める。

(2) 円Cの方程式を求める。

(3) 円Cとx軸の2つの交点のうち、原点Oと異なる交点をRとする。Rが線分OAをどのように外分するかを求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pは線分ABを2:1に内分するので、Pの座標は

$P = \left( \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 6}{2+1}, \frac{2 \cdot 3 + 1 \cdot 0}{2+1} \right) = \left( \frac{6+6}{3}, \frac{6}{3} \right) = (4, 2)$

点Qは線分ABを1:2に外分するので、Qの座標は

$Q = \left( \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 6}{1-2}, \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 0}{1-2} \right) = \left( \frac{3-12}{-1}, \frac{3}{-1} \right) = (9, -3)$

(2)

まずOPの中点を求める。

OPの中点は$\left( \frac{4+0}{2}, \frac{2+0}{2} \right) = (2, 1)$

OPの傾きは$\frac{2-0}{4-0} = \frac{1}{2}$

OPに垂直な直線の傾きは$-2$

OPの中点を通りOPに垂直な直線の方程式は

$y-1 = -2(x-2)$

$y = -2x + 4 + 1$

$y = -2x + 5$

次にPQの中点を求める。

PQの中点は$\left( \frac{4+9}{2}, \frac{2+(-3)}{2} \right) = \left( \frac{13}{2}, -\frac{1}{2} \right)$

PQの傾きは$\frac{-3-2}{9-4} = \frac{-5}{5} = -1$

PQに垂直な直線の傾きは$1$

PQの中点を通りPQに垂直な直線の方程式は

$y - \left( -\frac{1}{2} \right) = 1 \left( x - \frac{13}{2} \right)$

$y = x - \frac{13}{2} - \frac{1}{2}$

$y = x - 7$

これら2直線の交点を求める。

$-2x+5 = x-7$

$3x = 12$

$x = 4$

$y = 4-7 = -3$

円Cの中心は$(4, -3)$

円Cの半径を求める。円Cの中心から原点(0, 0)までの距離が半径になる。

$r^2 = (4-0)^2 + (-3-0)^2 = 16 + 9 = 25$

$r = 5$

円Cの方程式は

$(x-4)^2 + (y+3)^2 = 25$

(3)

円Cとx軸の交点を求めるには、円Cの方程式に$y=0$を代入する。

$(x-4)^2 + (0+3)^2 = 25$

$(x-4)^2 + 9 = 25$

$(x-4)^2 = 16$

$x-4 = \pm 4$

$x = 4 \pm 4$

$x = 0, 8$

点Rの座標は$(8, 0)$

点Rは線分OAを$m:1$に外分するとすると、

$8 = \frac{m \cdot 6 - 1 \cdot 0}{m-1}$

$8(m-1) = 6m$

$8m - 8 = 6m$

$2m = 8$

$m = 4$

Rは線分OAを4:1に外分する。

3. 最終的な答え

(1) Pの座標は(4, 2)であり、Qの座標は(9, -3)である。

(2) 円Cの方程式は$(x-4)^2 + (y+3)^2 = 25$である。

(3) Rは線分OAを4:1に外分する。