(1) $\theta$ が鋭角で $\cos\theta = \frac{5}{7}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。 (2) $\tan\theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

1. 問題の内容

(1) $\theta$ が鋭角で $\cos\theta = \frac{5}{7}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求める。

(2) $\tan\theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。ただし、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用する。

$\cos\theta = \frac{5}{7}$ を代入して $\sin^2\theta$ を求める。

$\theta$ は鋭角なので、$\sin\theta > 0$ である。

$\sin\theta$ が求まったら、$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ を利用して $\tan\theta$ を求める。

$\sin^2\theta + (\frac{5}{7})^2 = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49 - 25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7}$

$\tan\theta = \frac{\frac{2\sqrt{6}}{7}}{\frac{5}{7}} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2)

$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$ を利用する。

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ を代入して $\cos^2\theta$ を求める。

$\cos^2\theta$ が求まったら、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を利用して $\sin^2\theta$ を求める。

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$\sin\theta \ge 0$ である。

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{5}}{2} < 0$ であり、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ なので、$90^\circ < \theta < 180^\circ$ となり、$\cos\theta < 0$ である。

$1 + (-\frac{\sqrt{5}}{2})^2 = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4} = \frac{1}{\cos^2\theta}$

$\cos^2\theta = \frac{4}{9}$

$\cos\theta = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}$

$\sin^2\theta + (-\frac{2}{3})^2 = 1$

$\sin^2\theta = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta = \frac{2\sqrt{6}}{7}$, $\tan\theta = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

(2) $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $\cos\theta = -\frac{2}{3}$