次の3つの方程式が表す図形をそれぞれ答えよ。 (1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$ (2) $y^2 + 8y - 16x = 0$ (3) $4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y - 56 = 0$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

次の3つの方程式が表す図形をそれぞれ答えよ。

(1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$

(2) $y^2 + 8y - 16x = 0$

(3) $4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y - 56 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 4y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$

まず、$x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成を行います。

$x^2 + 6x$ の部分を平方完成すると $(x+3)^2 - 9$ となります。

$4y^2 - 8y$ の部分を平方完成すると $4(y^2 - 2y) = 4((y-1)^2 - 1) = 4(y-1)^2 - 4$ となります。

したがって、与えられた式は次のように変形できます。

$(x+3)^2 - 9 + 4(y-1)^2 - 4 + 9 = 0$

$(x+3)^2 + 4(y-1)^2 = 4$

$\frac{(x+3)^2}{4} + \frac{(y-1)^2}{1} = 1$

これは楕円の方程式です。

(2) $y^2 + 8y - 16x = 0$

$y$ について平方完成を行います。

$y^2 + 8y$ の部分を平方完成すると $(y+4)^2 - 16$ となります。

したがって、与えられた式は次のように変形できます。

$(y+4)^2 - 16 - 16x = 0$

$(y+4)^2 = 16x + 16$

$(y+4)^2 = 16(x+1)$

これは放物線の方程式です。

(3) $4x^2 - 9y^2 - 16x - 36y - 56 = 0$

まず、$x$ と $y$ についてそれぞれ平方完成を行います。

$4x^2 - 16x$ の部分を平方完成すると $4(x^2 - 4x) = 4((x-2)^2 - 4) = 4(x-2)^2 - 16$ となります。

$-9y^2 - 36y$ の部分を平方完成すると $-9(y^2 + 4y) = -9((y+2)^2 - 4) = -9(y+2)^2 + 36$ となります。

したがって、与えられた式は次のように変形できます。

$4(x-2)^2 - 16 - 9(y+2)^2 + 36 - 56 = 0$

$4(x-2)^2 - 9(y+2)^2 - 36 = 0$

$4(x-2)^2 - 9(y+2)^2 = 36$

$\frac{(x-2)^2}{9} - \frac{(y+2)^2}{4} = 1$

これは双曲線の方程式です。

3. 最終的な答え

(1) 楕円

(2) 放物線

(3) 双曲線