4点 P(-1, 1, 3), A(2, 6, 1), B(3, 0, -1), C(1, 2, 7) を頂点とする四面体（三角錐）の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

4点 P(-1, 1, 3), A(2, 6, 1), B(3, 0, -1), C(1, 2, 7) を頂点とする四面体（三角錐）の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

四面体の体積は、ベクトルを用いて計算できます。

まず、点Pを基準にして、ベクトル $\vec{PA}$, $\vec{PB}$, $\vec{PC}$ を求めます。

次に、これらのベクトルで作られる平行六面体の体積を計算し、それを6で割ることで四面体の体積を求めます。

ステップ1: ベクトルの計算

$\vec{PA} = \vec{OA} - \vec{OP} = (2 - (-1), 6 - 1, 1 - 3) = (3, 5, -2)$

$\vec{PB} = \vec{OB} - \vec{OP} = (3 - (-1), 0 - 1, -1 - 3) = (4, -1, -4)$

$\vec{PC} = \vec{OC} - \vec{OP} = (1 - (-1), 2 - 1, 7 - 3) = (2, 1, 4)$

ステップ2: 平行六面体の体積の計算

平行六面体の体積は、ベクトル $\vec{PA}$, $\vec{PB}$, $\vec{PC}$ のスカラー三重積の絶対値として計算できます。スカラー三重積は行列式で計算できます。

$V_{平行六面体} = | \vec{PA} \cdot (\vec{PB} \times \vec{PC}) | = | \begin{vmatrix} 3 & 5 & -2 \\ 4 & -1 & -4 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} |$

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & -2 \\ 4 & -1 & -4 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} 4 & -4 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}$

$= 3((-1)(4) - (-4)(1)) - 5((4)(4) - (-4)(2)) - 2((4)(1) - (-1)(2))$

$= 3(-4 + 4) - 5(16 + 8) - 2(4 + 2)$

$= 3(0) - 5(24) - 2(6)$

$= 0 - 120 - 12 = -132$

$V_{平行六面体} = |-132| = 132$

ステップ3: 四面体の体積の計算

四面体の体積は、平行六面体の体積の1/6です。

$V_{四面体} = \frac{1}{6} V_{平行六面体} = \frac{1}{6} (132) = 22$

3. 最終的な答え

四面体の体積は22です。