(1) $\theta = 36^\circ$ のとき、$\sin{2\theta} = \sin{3\theta}$ が成り立つことを示しなさい。 (2) (1)の関係を利用して、$\cos{36^\circ}$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) $\theta = 36^\circ$ のとき、$\sin{2\theta} = \sin{3\theta}$ が成り立つことを示しなさい。

(2) (1)の関係を利用して、$\cos{36^\circ}$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\theta = 36^\circ$のとき、

$2\theta = 2 \times 36^\circ = 72^\circ$

$3\theta = 3 \times 36^\circ = 108^\circ$

$\sin{2\theta} = \sin{72^\circ}$

$\sin{3\theta} = \sin{108^\circ}$

ここで、$\sin{(180^\circ - x)} = \sin{x}$ の公式を用いると、

$\sin{108^\circ} = \sin{(180^\circ - 72^\circ)} = \sin{72^\circ}$

したがって、$\sin{2\theta} = \sin{3\theta}$ が成り立つ。

(2) $\sin{2\theta} = \sin{3\theta}$ より、

$\sin{3\theta} - \sin{2\theta} = 0$

三角関数の公式より、

$3\sin{\theta} - 4\sin^3{\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$

$3\sin{\theta} - 4\sin^3{\theta} - 2\sin{\theta}\cos{\theta} = 0$

$\sin{\theta}(3 - 4\sin^2{\theta} - 2\cos{\theta}) = 0$

$\sin{\theta} \neq 0$ より、$3 - 4\sin^2{\theta} - 2\cos{\theta} = 0$

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta}$

$3 - 4(1 - \cos^2{\theta}) - 2\cos{\theta} = 0$

$3 - 4 + 4\cos^2{\theta} - 2\cos{\theta} = 0$

$4\cos^2{\theta} - 2\cos{\theta} - 1 = 0$

$\cos{\theta} = x$ とすると、$4x^2 - 2x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \times 4 \times (-1)}}{2 \times 4} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{8} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

$\theta = 36^\circ$のとき、$\cos{\theta} > 0$ より、

$\cos{36^\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 36^\circ$ のとき、$\sin{2\theta} = \sin{3\theta}$ が成り立つ。

(2) $\cos{36^\circ} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$